Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
1пи4-2
имеет точную верхнюю границу / < 1;
3) я„ < /(п), где / (ж) — положительная невозрастающая функция, причем ,
оо
| / (х) йх < со, N+1
12 с. д. Садовничий, А. С. Подколзив
Гяд 2 ак (х) сходится, равномерно на множестве А значений я если для всех п выполняется неравенство |а„(.т)| < Мп,
оо
причем 2 < 00 • х^ А.
оо
Числовой ряд 2 0 называется знакочередующимся, если со-
седние его члены имеют разные знаки. Такой ряд сходится, если ИтЬп = 0, |60| > > Ы >...> \Ьп\ >...
П—-*«>
Ряд
1 + 1 + 1+...
2Т 3
называется гармоническим.
В абсолютно сходящемся ряде члены можно переставлять между собой любым способом; сумма ряда не будет при этом меняться. Перемена порядка членов условно сходящегося ряда, вообще говоря, меняет его сумму. Можно так изменить порядок членов, что ряд будет расходящимся (теорема Римана).
Степенной ряд ошосптельно комплексного (нлц действительного переменного) г есть ряд вида
2 c.zh или V с. (z — a)k,
k = 0
ft=U
а (I = 0. 1, 2, ...) — числа Для любого степенного ряда сущест-вуег такое действительное число г, 0 ^ г ^ -)- оо, что этот ряд сходятся абсолютно при |г| < г и расходится при \г\ > г. Число г Называется радиусом сходимости данного степенного ряда.
Каково бы ни было число у, удовлетворяющее условию 0 < < д < г, степенной ряд равномерно сходится при \г\ ^ д. Из сходимости степенного ряда при г = г0 вытекает его сходимость и при |г| < |г0|, а из его расходимости при г = г0 вытекает его расходимость и при | г | > 1 г01.
Степенные ряды можпо почленно дифференцировать при |г|< <г, а также почленно интегрировать по контуру, содержащемуся в круге \г\ < г. Получающиеся в результате почленного дифференцирования или почленного интегрирования от 0 до I, \г\ < г, ряды имеют тот же радпус сходимости г.
Если существует такое число г > 0, что при всех г таких, что |г| < г, два ряда
имеют одну и ту же сумму /(г), ТО С0 = 6с, С\ = Ъ\, ,.1
Определение 1. Функция /(г), которая может быть разложена в степенной ряд. сходящийся в некоторой окрестности точки я, называется аналитической в этой окрестности. Функция аналитическая в каждой точке области (открытого связного множества) называется аналитической в области. Такие функции еще называют голоморфными в области или регулярными.
178
Функция, голоморфная в любой конечной части комплексной плоскости, называется целой.
Абсолютное значение |/(г)| функции /(г), аналитической в ограниченной области, не может достигать максимума ни в одной точке области, если только /(г) не константа (принцип максимума модуля).
Справедлив следующий факт.
Если функция /(г) аналптпчпа н ограничена по модулю во всей расширенной комплексной плоскости (включая точку г = оо), то /(г) есть константа (теорема Лиувилля).
Сумма /(г) степенного ряда на границе круга сходимости имеет по крайней мере одну особую точку.
Для каждой последовательности точек гп, г\, г2,___, не имеющих предельной точки в кинечноп части плоскости, существует целая функция /(г), которая своими единственными нулями имеет нули порядка шк в точках г = гк. Пусть г,, = 0, г & Ф 0, к > 0; если гс = 0 не является нулем, то т0 — 0. Функция {(г) может быть представлена в виде бесконечного произведения
/(г)=гт°ег<г> X
где е(г) —некоторая пелая функция, а целые числа гЙ выбираются так, чтобы бесконечное произведение равномерно сходилось в любой ограниченной области (теорема Вейерштрасса). Так, например,
\z\ < оо. Заметим, что бесьонечпое произведение
ос
(l + e„)(l + «I)(l + «.i П (l+flft)
чисел 1 + fh Ф 0 сходится к числу
оо
если
п
lim П(1;%)=Р-Это пмеет место в том и только том случае, если ряд
U 1" О + ан)
сходится к одному пз значений 1п р. Бесконечное пропзведеппе 12* 179
П [1 + ok (г)] равномерно сходится на множестве Л значений г.
я=0
для которых при всех к выполняется условие 1 + ак(г) ф О, если я
последовательность П [1 + ай (г)\ равномерно сходится на А к
функции, не принимающей на а значения, равного нулю.
Разложение в ряд Фурье определим для действительной функции /(ж) на интервале —л < х < л, для которой существует ин-
71
теграл ]" \/(1)]с11 Ряд Фурье есть бесконечный тригонометри-—л
чес^ий ряд
1
где
•Г ао + 2 ("ft cos Ь + bh sin te) = ^ cheihX.
h= 1 n=—°°
31
—л
/ (0 cos Ач dt,
f (t) sin A-f dt,
(к = 0, 1, 2, ...] — коэффициенты Фурье.
л
Если существует интеграл | [f{t)]2dt, то средняя квадра-
—я
гическая погрешность
я
4 | [/(0-^(0]«*.
—л
где
п
рп (о=4""«»+2 (а«со3 и+р*зіп А'0
п=1
— произвольный тригонометрическпй многочлен, при каждом п принимает наименьшее значение, когда в качестве а* и р* берутся соответствующие коэффициенты Фурье о* и Ь*.
Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции /(г) сходится к /<г-0) + /(* + ")
2-на каждом открытом интервале, где функция
/(г) в ее пропзводпая /'(г) кусочно непрерывны; при атом на каждом вамкнутом интервале, в котором функция непрерывна, ряд Фурье равномерно сходится к /(я).
Разложопне функции в р-д Фурье, в частности, оказывается полезным при нахождении сумм некоторых рядов, значений бесконечных произведений и т. п.
