Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть функция /(л) вида " ¦ в точке х = я не определена. Пусть lim и (х) — \\тг(г) — О.Если существует окрестность точки
х-*п X *п
х = а, в которой при хфа і'(х)фО, производные и'(х). v'(x) существуют II г(х) ф 0, то
lim JLSll = ljm "» , V (.«••) х-->а Т' (г)
если предел справа существует.
Пусть lim и (.т) = lim с (а) — со. Если существует окрестность зс-иі х-*а
точки х = а, в которой при хфа производные и'(х) и v'(x) существуют и v'(r) Ф 0, то справедливо то же соотношение
lim iti?l = lim JLM_, х-»- г (x) x-*a v'(x)
если предел справа существует.
В случае, если о гноптение Д-т^г представляет собой снова не-
V (х)
определенность указанного типа, правило Лоппталя может быть применено повторно.
Длн вычисления пределов иногда удобно также пользоваться разложением функции: в ряо Тейлора.
Приведем это разложение для функции очной переменной. Пусть /(х) — действительная функция, имеющая в интервале
я< а- < Ъ к-ю производную /с»(х). Тогда
/ (х) = / (я) + /' (")(х-<>) + ^ 1"(«)(г-П)2+ -••
• ¦ • + (д1 1)| /(П_,) <«> <* - Я)П_1 + Нп •*•> 0 < * < Ь'
Н (х) = (х~'а)П {(д(х-а) + а), 0<6<1, п я!
- остаток формулы Тейлора. | /?п (х) | Яир | |.
Существуют п другие фермы остаточных членов разложения Тейлора.
Пусть функция /(.г) имеет в интервале (а — г. а + г) все производные (бесконечно дифференцируемая или гладкая), и пусть для нее в этом интервале Нт /?л (г) = 0. Тогда
/(*) =2 -гг^о-н*-*)*• |*-«1<г-
и ряд равномерно сходится к \(х) на люгшм интервале \х — я]^ д, 9 < г. При я = 0 ряд Тейлора называется рядом Мак.юрена:
ос
/1*)=2-5г/(*,(0.**. 01 = 1, /(0) = /.
Интегрирование
Пусть на отрезке [я. hl задана действительная функции /(х>, ограниченная на этом отрезке: |/(х)| С < оо. Разобьем отрезок [я, Ь1 на я частичных интервалов точками разбиения: я = хп < <х, < х2 < ... < J. = ''. Выберем в каждом из частичных интервалов но ироиявольной точке |i (.r,_i s? Ii ^ Xi) и составим сумму
i 1
которая называется интегральной. Диаметром данного разбиения назовем число й— max xt_ j).
1^ I ч
Определение 1. Функция l(r) называется интегрируемой по Риману на отрезке [я, Ь\. если существует предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю. Итот предел называется интегралом Римана н обозначается так:
Ь п
\ 1 (х) dx = lim S = lim S / {Ii) {rt -
а
Функция (/ = /(x) называется подынтегральной, а чпела с и b — пределами интегрирования. Функция /(х) называется абсолютно интегрируемой, еслп интегрируем |/(.г)|.
172
173
Еслп функция у — /(.г) неотрицательна на отрезке [я, Щ. то интеграл С 1(х) йх выражает площадь, ограниченную кривой у
а
= /(.т), осью абсцисс и двумя прямыми х = я и х — Ь (площадь "Криволинейной трапеции). Если /(.1) ^ О, то этот интеграл выражает эту площадь, взятую со знаком минус.
Первообразной функции /(.г) на отрезке [я, Ь] называют такую функцию ^(.1), что ?'(.т) — /(а) на [я, Ь]. Функция Р(л) оп-п ре делена с точностью до произвольной постоянной н называется еще неопределенным интегралом функции /(.т):
(" / (лг) Ах = У (я-) + С.
Разность Г (г) — Р (а) — Р (г) |*, а ^ а' ^ Ь, определена однозначно.
Еслп функция /(г) интегрируема на [я, Ь] и имеет первообразную Р(х), то справедлива формула Ньютона — Лейбница ь
|/»</.»= Г (г) |? = (Ь) — ^ (я), я
Если функция f(x) ограничена п интегрируема на каждом ограниченном интервале, содержащемся в (с, Ь), то понятие интегрируемости по Рнману можно расширить так. что оно станет применимым в случае, когда функция /(.г) не ограничена в любой ок-крестностн одного па пределов интегрировании пли интервал (я, Ь) не ограничен. В первом случае по определению полагают
h с
[/(.r)rf.r= lim (7(.T)rf.r. '« с-о- о
Еслп Ъ = оо, то полагают
сю С
[ f(x)dx = lim \f(x)dx.
а с—kx а
Точно так я;е
ь ь ь ^
j / (х) dx = lim j / (.r) dx, f / (r) лх = ];m j / (*¦)
Такие интегралы называются несобственными, онп существуют, если существуют соответствующие пределы.
Интегрирование можно определить п для функций многих переменных /(г, I/, ..., о) по областям, удовлетворяющим определенным свойствам. При этом такие интегралы называются кратными, а вычисляются они путем повторного применения, в определенных пределах интегрирования по каждому переменному.
Определим криволинейный интеграл. Пусть С — дуга непрерывной кривой, лежащая в конечной части плоскости нлп пространства. Дайной этой дуги называется предел длины ломаной, вписанной в эту дугу, при условии, что длина наибольшего звена этой
ломаной стремится к нулю. Если указанный предел существует, то дуга называется спрямляемой. Для спрямляемой кривой, описываемой в прямоугольных декартовых координатах уравнениями х — = х(1), у — y(l), z — z(t), а t ^ Ь, (в пространстве) криволинейный интеграл f/(x, у, z) ds от ограниченной функции ио опре-С
делению равен
j /(.г, „, z) ds = lira " v / [х (х.х, у (т.}, z (t.)j д,
С 1шх д*{->0 ь=1
где
д«. = {и'.) - J('.-i)l2 + li'c) [:('*)-*('<-.)П"*.
и =^ f„ < г, < f2 < ... < f „ = (>, f,_, i < 11 (i = 1, 2.....11).
