Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 58

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 65 >> Следующая

пмеет решение, отличное от нулевого, тогда и только тогда, когда
Д = 0.
Определение 1. Мпожество G элементов произвольной природы называется группой, еслн в G установлена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов х, у пз G некоторый элемент w = ху, называемый произведением элементов хну, причем справедливы следующие три аксиомы:
1) (xy)z — x(yz) (ассоциативность).
2) В G имеется левая единица, т. е. такой элемент е, что х =,
= ех для ЛЮбоГО X ей.
3) Для всякого элемента г e G существует левый обратный элемент, т. е. такой элемент х~1, что х~х х — е.
Еслп, кроме того, для всяких двух элементов х и у имеет место равенство ху = ух, то группа пазывается коммутативной пли абелевой. Для коммутативных групп вместо групповой операции умножения часто употребляется групповая операция сложения (w — ху); при этом единица группы называется нулем и обозначается символом 0, а элемент х~1, обратный к х, называется противоположным и обозначается — х. Такие группы называют аддитивными группами, в отличие от мультипликативных, определенных выше.
Всюду ниже отображение / в различных определениях обозначает, вообще говоря, разные отображения.
Определение 2. Кольцом К = (G, /) (ассоциативным) называется пара, состоящая из аддитивной группы G и отображения /: G X G —v G, f(x, y) = ху,
причем должны быть справедливы следующие аксиомы:
1) (xy)z = x(yz), т. е. j(f(x, у), z) = f(x, 1(y, z));
2) x(y + z) = xy + xz, т. e. f(x, y-i-z)= f(x, y) + f(x, z);
3) (y + z)x = yx + zx, т. e. f(y + z, x) = j(y, x) + f(z, x).
Элемент x -|- y кольца называется суммой элементов х и у, а элемент ху — нх произведением. Кольцо называется коммутативным, если в нем выполнено равенство ху — ух для любых х, у е К. Если 1) не выполняется, то кольцо называется неассоциативным. Элементы кольца р ф 0 и q Ф 0, для которых pq = 0, называются соответственно левым и правым делителями нуля.
Определение 3. Полем Р называется коммутативное кольцо, непулевые элементы которого образуют группу по умножению. Единица е втой группы будет обозначаться символом 1.
-Определение 4 Линейным пространством L над полем Р называется пара: L = (G, /), где G — аддитивная группа, а / — отображение /: Р X С —»- G, зависящее от пары аргументов: /(а, x) =) = ах, а e Р, x е= G и удовлетворяющее аксиомам:
1) а(х 4- у) = ах 4- ау, т. е./(а. х + у) = /(а, х) + /(а, у);
2) Г« 4- Р> = ах + рЧ т. е. /(а 4- р, ж) = /(а, x) + /(Р, х);
3) а(р*) = (а?)*, т. е. /(а, (р*)) = /((ар), ж);
4) 1 • х = г, т. е. /(1, ж) = z,
где всюду выше 1, а, р s Р, г, I/ s G.
Элементы х, у, ... ей, где L = (G, f), называются векторами линейного пространства L, элементы поля Р: 1, а, р, ... называются скалярами,
187
188
Выражение влда а х^ где а, е Р, х{ е С, наемное гея ли-1=1
нейной комбинацией векюров (? = 1, 2, ..., п).
Определение 5. Подмножество элеменгов С, гдо В = = (б, /) — линейное пространство, называется линейным многообразием, если опо содержит все линейные комбинации входящих в это подмножество векторов. Мы будем говорить, чю многообразие натянуто на множество А, если оно совпадает с совокупностью всех линейных комбинаций элементов из А.
Определение 6. Совокупность векторов хи х2, х„ линейного пространства называется линейно независимой, если нь п
того, что 2 агХ1 = 0 следует, чю 04 = 0 (1 = 1, 2, ..., н). Сеско-1=1
нечная система {.'ч} векторов линейного пространства называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима. В противном случае системы называются линейно зависимыми.
Определенно 7. Подмножество В векторов линейного пространства В называется алгебраическим базисом пространства Ь, если любой вектор х пространства можно единственным способом представить в виде
71
г= 2агх1' а' 6 р. ^ е с-1=1
Мощность множества элементов, составляющих алгебраический базис, называется размерностью (шли ?,) линейного пространства В. Если эта размерность равна п, то пространство называется п-мер-ным векторным пространством. Мы будем предполагать, что поле Р, над которым определено линейное пространство В, либо совпадает с ВУ, либо Р = С — полю комплексных чисел. В первом случае Р называется действительным линейным пространством, во втором — комплексным линейным пространством.
Пусть ?,„ — конечномерное (п-мерное лнпенное векторное пространство с базисом ф|, фг, ¦ •-I фп). Рассмотрим линейное преобразование (или оператор) А пространства Ь„ в себя. Матрица IIОД 111«> кп пз чисел огз- в линейных комбинациях
71
Лф,= 2°{/Ру (« = 1, 2, ...,тг), 1=1
полностью определяет линейный оператор. Матрица |[од[[кг, ;<л называется матрицей линейного оператора А в базпее ф|, ф2, ..., ф„. Обратно, каждой матрице [[од|||<1, однозначно отвечает линейное преобразование, определяемое на базпепых векторах (а значит, и всюду) формулой, приведенной выше.
Собственные значения матрицы есть собственные значения соответствующего линейного преобразования. Вектор / фО такой, что
А1 = А./,
% — собственное число, называется собственным вектором преобра-вования А. Если матрица унитарным преобразованием приведена н дпагональному виду, то на диагонали будут стоять собственные чпела Я|, ..., %п преобразования А.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed