Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости, для которых ^. \МАк\* = С, где6>Ги =
i я н
= — |0ЛА|*.есть окружность с центром в точке О п ра-ь.а »__
диусом И = } „ "-•
418. (МИСИ, 1977 г.) Три вектора СМ. ОН и ОС удовлетворяют условию
а\хдв + овх ос А-осхоА = о.
а) Доказать, что векторы ОЛ, ОВ и ОС компланарны.
б) Точки А, В, С лежат на одной прямой.
419. (МАДП. 1977 г.) Из одной точки проведены три некомн.танарных вектора «, Ь, с. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору иЬ Ь с с а.
420. (МИСиС, 1976 г.) И пространстве задана шестерка векторов: а, Ь, с, х, у,г. Доказать тождество
(я, Ь, с) (х, у. г) =
(«. х) {я, у) («, г) (6, х) Ф, у) (Ь, г) с. х) 1С, у) (С, Z)
421. (МФТИ, 1976 г.) При каком необходимом и достаточном условии система уравнении
[« X х А ь ; у = с, \Ь у х - а > у - (I
имеет решение? Найти все решения этой системы. Здесь х.у— неизвестные,а,Ь,с,й— данные векторы, причем и-Аг
+ь--фо.
422. Доказать, что плоскость нельзя покрыть непересекающимися окружностями конечных, отличных от нуля радиусов,
55
423. (Мех.-мат., 1977 г.) Можно ли накрыть всю плоскость конечным числом внутренностен парабол?
424. (МИРЭА, 1976 г.) Доказать, что прямая не может быть представлена в виде объединения попарно непересекающихся интервалов конечной длины.
425. (МЭИС, 1976 г.) Доказать, что отрезок [—1, 1] нельзя разбить на два равных непересекающихся множества (два множества, лежашие на прямой, считаются равными, если они переводятся друг в друга движением прямой).
426. (МЭИС, 1976 г.) Доказать, что круг нельзя разбить на два равных непересекающихся множества (два множества точек плоскости считаются равными, если они переводятся друг в друга параллельным переносом).
427. (МИЭМ, 1975 г.) Задано отображение плоскости в себя, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Доказать, что образом плоскости при этом отображении является вся плоскость.
428. (МИЭМ, 1977 г.) Существует лн непрерывное взаимно однозначное отображение сферы на часть плоскости?
429. (МГПИ, 1976 г.) Па плоскости даны отрезок АВ и точка СФЛВ. Найти фигуру Ф:
Ф= {Л/:р(Л/, С) = р(Л/, АВ)},
где р(Л/, С) — расстояние между М и С, р(Л/. АВ) — кратчайшее расстояние от М до точек отрезка АВ.
430. (ВМК МГУ, 1976 г.) Пусть А — некоторая ограниченная плоская фигура, каждая окрестность которой имеет ненулевую площадь. Можно лп двумя взаимно ортогональными прямыми разделить А на четыре равновеликие части?
431. (УДП, 1976 г.) Установить взаимно однозначное соответствие между точками замкнутого и открытого кругов радиуса 1.
432. (МГПИ. 1976 г.) Через точку С пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность, проведена хорда А В: \АВ\ = \СВ\. Пусть прямая АВ пересекается с противоположными сторонами четырехугольника в точках /1/, Л', а с продолжениями сторон—в точках Р, С1. Доказать, что \СМ\ = \&Х\,
\ср\ = \с<?\.
433. В окружность единичного радиуса вписан правильный Л-угольник. Найти произведение длин всех его
диагоналей, проведенных пз одной вершины (считая прилегающие стороны).
434. (МИИГА, 1976 г.) Доказать, что если композиция произвольных трех гомотетий плоскости с центрами в трех фиксированных точках А, В, С имеет неподвижную точку, то точки А, В, С лежат на одной прямой.
435. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть А — пекоторое множество на прямой, все точки которого являются изолированными. Доказать, что А представляется в виде пересечения открытого и замкнутого множеств.
436. (МГПИ, 1977 г.) Разделим данную окружность на р конгруэнтных частей и обозначим через \1Р множество точек деления. Число вершин любой замкнутой ломаной со назовем ее порядком; через [<»] обозначим множество ее вершин. Ломаную га назовем р-правильной, если ее звенья имеют одинаковую длину и [о)] е МР. Две ломаные им и о>2 назовем идентичными, если [0)1] = = [<"г]. Для каких р верно утверждение: любые р-пра-вильные и идентичные ломаные одного порядка к ^ р конгруэнтны тогда и только тогда, когда 1 ^ к ^ р — 2?
437. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть Л/,(ж,, у,), ... ..., Мп(х„, у,,) — точки на плоскости такие, что у\ > 0, ... .... у* > 0, ук+\<0, у„ < 0. Па оси абсцисс расположено п + 1 точек А\, Л,1 + 1 так, что для каждой точки А,
где /-.М,А,оо — угол между А,М> п положительным направлением оси абсцисс (лежит между 0 и л). Доказать, что множество {Л/,, Л/*} симметрично относительно оси абсцисс.
438. (Мех.-мат., 1976 г.) Доказать, что выпуклое тело в /?" объема V можно заключить в параллелепипед объемом га! V.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
439. (МФИ, 1976 г.) В жюри пз трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью р, а третий член для вынесения приговора бросает монету. Окончательное решеппе выно-
57
56
сится большинством голосов. Жюри из одного человека выиосит справедливое решение с вероятностью р. Какое из этих жюри выиосит справедливое решение с большей вероятностью?
440. (МФИ, 1077 г.) С 1789 по 1960 г. сменилось 3-3 президента США. Какова вероятность того, что какие-то двое из них имели общий день рождения?
