Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
вычислить этот предел при и—>-О0.
333. (МФТИ, 1976 г.) Рассматриваются действительные симметрические матрицы второго порядка с собственными значениями ?„( ц А2. Найти наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать элемент 012.
331. (МГПИ, 1975 г.) Вычислить матрицу
335. (МТекстИ, 1977 г.) Найти максимальное значение определителя третьего порядка, у которого два элемента равны 4. а остальные 1 или — 1.
336. (МИХМ, 1976 г.) Пусть
/(*)
3 — х 5 — За2 2i2 — 1 Ъх» — 1
1
З.г-3 — 1 lx»— '1
Доказать, что найдется число с (0<с«<1) такое, что /'(г)=0.
337. (МИНГА, 1977 г.) Пусть Л—матрица размера пХп, причем a,jZ=ij. Вычислить /'(0), где f(x) => = det(Az + E).
43
338. (МФТИ, 1977 г.) Найти матрицу Х(1) из уравнения А'(0 = ЛХ(1) - X(t)A, А'(0) = В, где
л-Ц 1). «-(!
339. (МИФИ, 1975 г.) В матрице А столбцы являются понарно ортогональными векторами. Доказать, что абсолютная величина определигеля матрицы А равна произведению длин векторов-столбцов.
340. (МАИ, 1976 г.) Найти предел
I I |п
2 1 1
0 у 1
о о -1
5
341. Вычислить liiu | li А
(п = 1,
= 1 9 2
ип
(Ап -
?)). г;
¦-а ;>
342. Числа Фибоначчи я, определяются условиями а, = 1, а2 — 2, а„+2 = а„ -f- а„+1 при п ^ 1. Доказать, что
1 1 1 11 — 1 1 1
О
о
I 1 1 — 1 1
343. (УДИ, 1977 г.) Доказать, что при и^З н сиФ0
... с
In
пі
Ln2
11
"гі c2n
rI'I CI
И Lln sn 1 cmi
»1 "п.Ч
344. (МФИ, 1976 г.) Найти сумму всех определителей порядка п, в каждом на которых в каждой строке и в каждом столбце один элемент равен 1, а остальные пулю. Сколько всего таких определителей?
46
345. (МИФИ, 1975 г.) Доказать, что определитель
1 2 ... 1974 1975
2» За ...1975* 1976*
Зз 43 ...19763 1Г>7&
........# I.........
19731975 1!>761973 ... 19761975 19761975
не равен 0.
346. (МАДИ, 1976 г.) Пусть а, р\ к — корни уравнения я3 + Рх + Я — 0. Вычислить
а Р V у а р. Р V а
347. (УДН, 1977 г.) Вычислить определитель Р„ = = (1е1(||р,,П), где рц= 1, если i делит /, и р« = 0, если г не делит /'. Найти значение определителя = .= г1е1(||<7„||), где д.-, — число общих делителей i и /.
348. (МИИТ, 1976 г.) Доказать, что модуль собственного значения матрицы не превосходит суммы модулей ее элементов.
349. (МОИИ, 1976 г.) Доказать, что если в определителе й и-го порядка все элементы равны 1 или — 1, то при п ^ 3
|0| ^ (л-1)(п-1)!.
350. (МЭИ, 1977 г.) Пусть матрица А размера пХп имеет вид
•!. о Л
0 " : 2н /
а/
Найти сумму элементов цервой строки матрицы Ат, где т ^ п.
351. (Мех.-мат., 1976.) Доказать, что для любого натурального п найдется матрица А такая, что
/1 2 3... 1976 \ / О 1 2 ... 1975 \ Ап = I и 0 1 ... 1974 1.
\0 0 0...1 )
47
352. (МПХМ. 1975 г.) Пусть Е — единичная матрица, А, В, С — квадратные матрицы того же порядка, что и матрица Е. Выяснить, какие из равенств ВАС — Е, АСВ = Е, CAB = Е, ВСА = Е, СВА = Е имеют место всегда, а какие не всегда, если ABC = Е.
353. (МАИ, 1977 г.) Дана невырожденная матрица А порядка пХп. Можно ли для всякой матрицы А' порядка п X п найти матрицу Y порядка и X и такую, чтобы выполнялось равенство X — AYA~l—A~]YA?
354. (МИИГАнК, МЭИ С, 1975 г.) Доказать, что не существует таких матриц А и В, что AB — ВА —Е {Е — единичная матрица).
. 355. (МАИ, 1976 г.) Доказать, что если у квадратной матрицы А порядка и X п все элементы, лежащие на главной диагонали, равны 0, то ее можно представить в виде А ~ ВС — СВ, где В, С — квадратные матрицы порядка пХп.
356. (МИЭП, 1975 г.) Пусть А — квадратная матрица порядка п. Доказать, что если А2 = Е, то сумма рангов матриц А-\-Е и А — Е равна и (Е — единичная матрица).
357. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть X п В0 — действительные матрицы размера п X п. Определим но индукции последовательность матриц Bt= Bi-\X— A'?r-i. Доказать, что если X —Вп-, то X = 0.
358. (МИЭМ, 1977 г.) Дана квадратная матрица А ~ H?jjll порядка р + q, причем atl = 0 при 1 ^ г, / ^ р и при р -f- 1 =S i, j ^ p + q. Доказать, что если >. — ее собственное значение, то (—К) — тоже собственное значение.
359. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть G — группа невырожденных матриц порядка п X п над R, II a G — подгруппа ее, состоящая из симметрических матриц. Доказать, что существует собственный вектор, общий для всех матриц нз Н.
360. (Мех.-мат., 1976 г.) Найти необходимое п достаточное условие на матрицу А для того, чтобы существовал lim Ап.
361. (Мех.-мат., 1975 г.) Квадратная матрица А такова, что в каждом ее столбце есть ровно два ненулевых элемента: диагональный, который больше 1, и некоторый недиагональный, равный 1. Может ли матрица А быть вырожденной?
<8
362. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть Л' ж У — матрицы порядка п X п. Если их рассматривать как элементы В'1', то Тг(ЛТ') будет билинейной формой на В"2- Доказать ее симметричность и найти ее индексы энерцпп.
363. (Мех.-мат., 1975 г.) Пусть .4, В — действительные симметрические матрицы одного порядка. Доказать, что Тг (А В АВ) <Тг(Л2В2), где Тг(ЛГ)—след матрицы Ш. Когда имеет место равенство?
