Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Садовничий В.А. -> "Задачи студенческих олимпиад по математике" -> 10

Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.

Садовничий В.А., Подкозлин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Под редакцией Лабка А.С. — М.: Наука, 1978. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachidlyaol1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 65 >> Следующая

СиЯ,„ -f- С\(1тл\ Аг .., -f- c„om+n = 0.
257. (СТАНКИН, 1977 г.) Разложить в ряд Фурье функцию
= S1H
j^arcsm
258. '(.МАДИ, 1975 г.) Как следует продолжить гште грируемую в (0, л/2) функцию на интервал (—л, л), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
00
2 Ъп sin (2л - 1) х?
'к,
259. (МИЭТ, 1975 г.) Вычислить сумму ряда ^^г1
Дифференциальные уравнении
260. (ВТУЗ — ЗИЛ, 1.>77 г.) Нарисовать на плоскости Оху интегральные кривые уравнения
йу dx
- 1.
261. (МППСП, 1977 г.) Дано уравнение y'=JJ-f.<^JLj. Какой должна быть функция q(x/y), чтобы общим решением данного уравнения было У — i—г—л?
262. (МИПСП, 1977 г.) Найти /(х,у), если
П = *2У + х, 1'у = -у- -г 2Л
263. (МИСиС, 1976 г.) Известно, что /'(*ш2х) = = соз2д; + 1о,2х. Найти /(.г) при 0 < .г < 1.
264. (МНИТ, 1977 г.) Нарисовать на плоскости Оху интегральные кривые дифференциального уравнения а]и у' = 0.
265. (МАДП. 1977 г.) Доказать, что дифференциальное уравнение кривых второго порядка имеет вид
[(</Г2Т = о.
266. (МПЭИ, 1975 г.) Доказать, что для уравнения
2/'=2, ху в начале координат нарушается теорема единственности решения.
267. (МГИ, 1976 г.) Имеет ли дифференциальное уравнение У' = у — е--4" решения, стремящиеся к нулю как при .с-*—со, так и при х-^ + со, и сколько таких решений?
26Х. (МЭИ, 1975 г.) Дано линейное дифференциальное уравнение
у' + я(х)у = /(х) ;(*<= (0. + ОО)), о(л>)>с>0.
Доказать:
а) Из ограниченности /(х) следует ограниченность решения.
б) Если /(х)->0 при х-*- + оо, то у(х)->0 при х—*¦ со.
269. Может ли функция х2$\\\х быть решением на интервале .(—а, «) (о > 0) уравнения у"_+р(х)у'±1
Ч~ Ч(Х)У — 0 с коэффициентами, непрерывными на этом интервале?
270. (МИХМ, 1975 г.) Может ли функция у = 1 — — сое я быть'на интервале (—я, а) решением уравнения у" + р (х) у' + q (х) у = 0, где коэффициенты р(х), ^(х) являются функциями, непрерывными на этом интервале?
271. (МГИ, 1975 г.) Доказать, что все решения уравнения у' = | _ ^,2 ^ , а ограничены на всей оси Ох.
272. (МАМП, 1975 г.) Функция у(х) удовлетворяет дифференцп ал ытму у ра в не нпю
и начальному услов1Ю у(0) — 0. Доказать, что при любом х > 0 имеет место неравенство О <С у(х) <С х.
273. (МИСиС, 1977 г.) Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение у" + р(х)у' +, + <?(х)у = () имело линейные независимые решения у\
ii (/2. для которых 7/2 = (У\)2-
274. (МПЭМ, 1977 г.) Пусть \?р(у) = Ы ||с0||, где 0=?^г*,/^/>, сч = у"'+н. Показать, что функция еС2^/?) удовлетворяет уравнению И7р(у) = 0 тогда и только тогда, когда она является решением некоторого однородного линейного дифференциального уравнения порядка р с постоянными коэффициентами.
275. (МИСП, 1977 г.) Решать дифференциальное уравнение
у'=щфт>'
276. (МЭСП, 1976 г.) Найти решения дифференциального уравнения
У2 + (у')3 - уу'= о.
277. (МИЯТ, 1975 г.) Выразить через элементарные функции и пптегралы от них общее решение дифференциального уравнения у" — л у' — у — 0.
278. (МАМИ, 1975 г.) Решить урнвнепио
уу" = у' +
279. (Мех.-мат., 1976 г.) Доказать, что уравнение у' а у2 ,г с начальным условием у (0) — 0 не имеет решения на интервале (0, 3).
39
38
280. Функции f(x,y), fv(x, у) непрерывны на всей плоскости; f„{x, у)всюду положительна; j(x.y) периодична по х с периодом со, т. е. f(x -f- со, у) = /(ж, у) (со > 0). Доказать, что уравнение у' = f{x,y) не может иметь более одного периодического решения с периодом о).
281. Пусть у = ф(ж) — определенное па отрезке [я, Ь]
dy Р (.г, у) г>/ » л/ \
решение уравнения ф = Q(x ¦¦ , где Р(х,у), Q(x.y) —
многочлены второй степени, причем Q(ж, ср(.г-)) фО при X? [а, Ь]. Доказать, что прямая, не касающаяся ни в одной точке графика y=(f(x), не может пересекать эту кривую более чем в трех точках.
282. (МИЭМ, 1075 г.) Доказать, что уравнение
dy агл + Ьх2уг + сху3 dx 2лл — x3 у -\- г/4
не имеет замкнутой интегральной кривой, охватывающей начало координат.
Уравнения н неравенства
283. (МАДИ, 1976 г.) Доказать тождество 2arc.lgx -f arcain { 7^ = л при ж^> 1.
284. (МАМИ, 1975 г.) Доказать, что
arctgy arctg| -f ... +arclg-^ = arctg-^-j-.
285. Пусть функция f(x) непрерывна на всей оси, причем /(/(ж))=ж. Доказать, что существует точка Жо, в которой /(ж0) = ж0.
286. (МИЭИ, 1975 г.) Найти число действительных корпсй уравнения
хе~* + е~х -\1 ж2 — 1 = 0.
287. (МФТИ, 1977 г.) Сколько действительных корней имеет уравнение е" — ах2 в зависимости от параметра а?
288. (МАМИ, 1977 г.) Найти все такие положительные а, чтобы уравнение.ж = 1оуаж пмело решение в действительных числах.
289. (МАТИ. 1976 г.) Определить число действительных корней уравнения
sin ж = ж/8.
290. (МАДИ, 1976 г.) Сколько действительных корней имеет уравнение Бтж-f- | sin х | = 0,12ж?
291. (УДН, 1976 г.) Определить количество действительных пулей функции
/(ж) = 2t?2-*V - 3** + Ъхг — 1) — 2е - 5.
?п ь
"V1 X
292. (МГИ, 1975 г.) Доказать, что уравнение 2i ~кГ =0
не имеет действительных корней.
293. (Мех.-мат., 1977 г.) Функция /(ж), определенная
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 65 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed