Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
п
при ж > 0, задана соотношением /(ж) = 2j atxat{at —
» i= 1
различные действительные числа). Известно, что один из коэффициентов а, отрицательный, а другие положительны. Доказать, что /(ж) имеет не более 2 положительных корней.
294. (МГПИ, 1976 г.) Решить функциональное уравнение /(ж) = /(2ж) в классе непрерывных функций.
295. (МНИТ, 1977 г.) Найти ограниченную в точке х — 0 функцию, удовлетворяющую уравнению
/М-j/(t) = *"-
296. (МНИТ, t977 г.) Найти функцию, удовлетворяющую уравнению / (ж) — у / ^-j = ж — ж2 и ограниченную
на любом конечном отрезке.
297. (МЭИ, 1975 г.) Наптп все дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению
Д*Н У) !-/(*)/0,)
298. (МИИГА, 1977 г.) Найти все непрерывные функции /(ж), удовлетворяющие СООТНОШеиИЮ /(Ж1 + Ж2) = = /(Ж))/(Ж2) ДЛЯ ЛЮбыХ Ж| И Жг.
299. (МГПИ-, 1975 г.) Пустьа=И=±1 — действительное число. Найти функцию /(ж), определенную при ж ф 1
и удовлетворяющую уравнению / ( х _ [ j = я/(ж) -f q (-О»
где ф(ж)—заданная функция, определенная при хф I.
300. (МГПИ, 1975 г.) Решить па полуоси ж > 0 функциональное уравнение /(ж") = а/(ж), где а —фиксированное действительное число, п — натуральное чисто.
40
41
SOI. (МИИТ, 1977 г.) Боа помощи таблиц найти решение уравнении
a:* sin - = 2дг - 1977
г
С точностью до 0,01.
302. (МФИ, 1977 г.) Даны три пункта Л. В, Г, причем ?_АВС — Ш н А В = 200 км. Из п. Л к н. # выхошг автомобиль, движущийся со скоростью 80 км/ч, a n.t н. В к п. С — поезд со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилей будет минимальным?
303. (МТИЛП, 1977 г.) Найти последовательные целые числа, между которыми содержится выражение
6(1-Ш1-1(юо).
Ш. (МТекстИ, 1977 г.) Доказать, что sin х>^-а: при
о<д<4-
305. (М1ШС11, 1977 г.) Доказать неравенство х> > lu (1 + х). где ж>0.
306. (МФТИ, 1976 г.) Доказать неравенство 1+2 [н»:< (<ж2 (.0 0).
307. (МГЦ, 1977 г.) Доказать неравенство
ел > 1 +1п(1 + х).
308. (Мех-мат., 1977 г.) Доказать неравенство
\х\х ^ 1
^—= при х > 0, хФ1.
309. (МППХ, 1975 г.) Доказать неравенство -<1п—<-, где0<и<т.
т п
310. (МИСиС, 1977 г.) Доказать неравенство
311. (МЭНС, 1976 г.) Доказать: < ре*< + це** для любых хи х2 и таких р 2* 0, ?'2=0, что /> + <?= 1.
312. Доказать, что при целом п>0 выполняется
е —
313. (ВМК МГУ, 1970 г.) Найти минимальное р и максимальное а такие, что 11 -\-— 1 ^ е ^ М -(-—- I для всех целых п.
314. (М11ЭП, 1975 г.) Доказать неравенство -^Г~~^
(*-\-)/\п
> (~г-)' "е а> °. * > °- п> (-
315. (МИЭМ, 1977 г.) Доказать неравенство ^~~|3>
^ сор х при 0 <^ | х | < ~.
316. (МИСиС, 1977 г.) Доказать неравенство
J 1 I-*2 .) 1 I-*2
о о
317. (МИХМ, 1977 г.) Доказать неравенство
1 f U - е 2 ) < J e-^'Vx < У ± (1 - е-"*).
о
318. (МТИЛП, 1977 г.) Доказать, что
2013J<.]^"<:!0-
319. (MAMIT. 1975 г.) Найти наибольшее и наименьшее значения функции z — х2 -\- у2— ху в области
|*| + М<1.
320. (МИХМ, 19/6 г.) Найти наименьшее значение функции .rjf — ... хт, при условии Т\ + ... + х„ = 1.
321. (МГПИ. 1977 г.) Найти множество всех таких действительных а, что для любых положительных х и у выполнено неравенство
а — 1 ,1 з-ч
а (/ос—i
322. (МИФИ, 1975 г.) Функция /(*, #) имеет локальный минимум в точке (ло; у0) на каждой прямой, проходящей через эту. точку. Будет ли }(х, у) иметь локальный минимум в (.го; #о)?
42
43
323. (МПЭМ, 1977 г.) Дапа последовательность непрерывных па [а, Ь\ функций ф,, ф2, причем
(ф^, (х) dx = 1. Доказать, что можно наптн помер N
о
и числа си а,..., сЛ- такие, что
> 100.
N
Д c~h — 1, шах
/,= 1 хе, «,ы
а'
^СьФь (ж)
324. В треугольнике Т, определенном неравенствами |-r + f/|^l, i/^O, задана функция ]{х,у), имеющая
dl df
непрерывные частные производные-^- и —, причем для любой точки (х,у)еТ выполнены условия: a) grad f{x,y) Ф ф 0; б) 11^ | < | ^7 |- Доказать, ч го
лтах |/(аг,г/)|< та.\ |/(дг, 0}|.
325. (Мех.-маг., 1976 г.) Доказать, что при а> Ъ~> 1
выполплется fl -> о ¦
326. (Мех.-мат., 1975 г.) Фупкния f(x) непрерыппа н положительна на полуоси [0, +°о) и /(х)->0 при д:->-|-оо. Всегда ли можно найти такую пару точек х\, z2e [0, +°°), что
|*1-х,|>/7(5Г). {<77ЙГ<2? .
327. (МИНГА, 1977 г.) Доказать, что для любого числа е>0 можно указывать такое натуральное число
и, что
sin ч--2 I ^ е*
АЛГЕБГА
Матрицы и определители
328. (МФИ, 1977 г.) Доказать, что матрица А = ^а ^ j
удовлетворяет уравнению
X2 - (а + d)X + (ad - bc)E = 0,
где
(о :>
329. (МФИ, 1977 г.) Найти матрицу X:
1 1 I ... 1 0 1 1 ... 1 о о 1 ... 1
1 2 3., 0 12.. 0 0 1..
л
л— 1
ооо,
1
О О 0 ... 1
330. (МТИЛП, 1977 г.) Пантп все матрицы второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице
331. (МИЙГА, 1976 г.) Показать, что для матрицы А размера 10 X 10
; о 10
"о
Л =
0 0 1
10'
-10
о
0 1
,.о о
dot (Л —Щ =Хш-10
1 — 10
332. (МГ11И, 1976 г.) Пусть Л„ = (? (1)" = \Ып) ii.
"\2 (")
Доказать, что существует предел огпошения ам {П)' 11
