Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
71
па метрику: при о, те5„ с7(о, т) = ^1 |ст(0 — т(01-Какие числовые значения может принимать с!(о, т)?
ГЕОМЕТРИЯ
389. (МИНХнГП, 1970 г.) Доказать, что длина отрезка, соединяющего цептр эллипса с произвольной его точкой, заключена между большой и малой полуосями этого эллипса.
390. (МАДИ, 1975 г.) Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данной площади 5 наименьший периметр.
391. (МИПСП, 1977 г.) На отрезке [0, 1] задана функция у = х2. При каком положении точки Ь сумма площадей 5| и Б2 плюет наименьшее н паибольшее значения (рис, 1)?
392. (МИХМ, 1977 г.) Оконная пиша имеет форму прямоугольника, на который опирается полукруг. Пери-
т метр пиши равен Б. При
кассой ширине ниши ее площадь будет наибольшей?
393. (МГМП, 1977 г.) Два коридора шириной а п Ь пересекаются под прямым углом. Определить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести горизонтально из одного коридора в другой.
394. (МИХМ. 1976 г.) Цистерна представляет собой цилиндр с приваренным к нему конусом. Наибольший угол.между образующими конуса 90°. Поверхность цистерны равна ? (м2). При какой высоте цилиндра емкость цистерны будет наибольшей?
395. (МАТИ, 1977 г.) Какой сектор следует вырезать пз круга радиуса /?, чтобы на оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?
Рис. 1.
396. (МЭИ, 1977 г.) Прямоугольный лист бумаги сложен так, что один из его углов лежит па противоположной стороне. Как следует сложить этот лист, чтобы длина сгиба была наибольшей? наименьшей?
397. (МФТИ, 1976 г.) На эллипсе -^-+ -fs-=l пантн
такую точку (aro'i i/o), чтобы площадь треугольника, ограниченного касательной к эллипсу в этой точке и осями координат, была паименьшей.
398. (МИИСП, 1977 г.) Найти уравнение касательных,
проведенных из точки (4; —1) к эллипсу —1—= 1 •
399. (СТАНКИП, 1977 г.) Написать уравнение касательной к параболе у = х2 в точке, ближайшей к точке Л/о (2; 1/2).
400. (МТИЛП, 1976 г.) Доказать, что семейства гипербол х2 — у2 = а и ху — Ъ образуют ортогональную сетку, т. е. кривые этих семейств пересекаются под прямыми углами.
401. (МАДИ, 1976 г.) Найти точку пересечения общих касательных двух окружностей, центры которых
совпадают с точками (2; 5) и 10 -^-j, радиусы соот-
ветственно равны 3 и 7.
402. (МЭИ, 1977 г.) Две вершины треугольника зафиксированы, а третья движется так, что один из углов при основании треугольника остается вдвое больше другого. Какую линию описывает третья вершина?
403. (МТИПП, 1977 г.) На плоскости даны точки А и В. Найти уравнение геометрического места точек, отстоящих от А на расстоянии вдвое большем, чем от В.
404. (МТИЛП, 1975 г.) Отрезок АВ длппы 3 скользит своими концами но координатным осям (точка А по оси Оу, В — по оси Ох). Какую кривую описывает точка С, находящаяся па расстоянии 1 от точки А?
405. (МИИСП, 1977 г.) Найти уравнение кривой у~]{х), зная, что площадь SAbc, заключенная между осью Оу, этой кривой и перпендикуляром, опущенным из любой точки кривой на ось ординат, равна 1/3 площади прямоугольника OBCD (рис. 2).
406. (МОПИ, 1976 г.) Даны эллипс и прямая. Какую кривую описывают середины хорд, лежащие на полярах с полюсами на даипой прямой?
407. (МВТУ, 1977 г.) Найти уравнение геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из
53
юх на касательные к зтои
вершины параболы у2 — параболе.
408. (МАИ, 1077 г.) Пайгп расстояние от точки (4; 0) до кривой у2 — 2.г = 0.
409. (МИИТ, 1977 г.) II а яти расстояние от параболы У — л2 до прямой х — у — 2 — 0.
410. (МФТИ, 1977 г.) Пай! 41 кратчайшее расстояние
от эллипса
Т
+
1 до
Рис. 2.
пы уравнениями я,-.г -}- Ьгу + с{ зать, что площадь треугольника
прямой 2.г -(- ц = 5.
411. (МЭСИ, Г.176 г.) Круг радиуса г катится без скольжения по окружности ж2 + у2 =-/?2 (Л>г), оставаясь внутри нее. Траекто-|>пя некоторой точки М окружности катящегося круга паз ы ва етс я ги поциклопдой.
Доказать, что при г = — /?
гипоциклоида превраптается в отрезок прямой.
«12. (МИСиС, 1976 г.) Стороны треугольника зада-
0.
где (
1,
Дока-
где Л
ь3
и А, — алгебраическое дополнение элемента с,.
413. (МГММ. 1977 т.) На листе бумаги нарисован график у = sin х. Лист свернут в цилиндрическую трубку, так чю совмещены все точки, абсциссы которых отличаются на 2л. Доказать, что все точки графика синусоиды при этом лежат в одной плоскости.
414. (МАХИ, 1976 г.) Из точки вне эллипсоида проводятся к нему всевозможные касательные. Доказать, что все точки касания лежат в одной плоскости.
415. (МНХМ. 1977 г.) П тетраэдре SABC через каждое ребро и середину противоположного ребра проведена плоскость. Доказать, что все эти плоскости имеют общую
точку; ооозначпв эту точку А', выразить вектор SK через векторы SA — и, SB = b SC = с,
416. (МТехиП. 1977 г.) Доказать, что расстояние к между параллельными прямыми можно выразить формулой к — *1'.'; » где П — вектор, идущий иг точки
на одной прямой в точку на другой прямой, а г2 — вектор, параллельный данной прямой.
417. (МИСиС, 1977 г.) На плоскости заданы точки Лі, ..., А„. Пусть О — геометрический центр тяжести этой системы точек. Доказать, что множество точек М
