Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
что ряд 2 ап расходится (о„ — действительные чпслаї.
218. (МИРЭА, 1976 г.) Существует ли сходящийся
оо оо
ряд 2 ап> Для которого ряд 2j o«<+1 расходится для
71=1 71=1
всех к — 1, 2, 3,...?
219. Последовательность {Ь„} (я = 1, 2, ...) такова, что Ьп > 0 н Пш Ъп = -f оо. Построить последователь-
71~*00
ОО \
пость {о„} такую, чго а„ ^ 0, 2Ufln < 30 > 2 anbn = + °°-
77=1 71=1
220. (МИОТ, 1977 г.) Пусть ряд 2 ап сходится
71=1
н (>п > 0. Доказать, что существует последовательность Ь\ ^ bz ^ ... ^ Ьп ^ ... такая, что lim Ьп = оо и рЯд
71-»оо
2 rt7i^» также сходится.
71=1
221. (Мех.-мат., 1976 г.) Привести пример такой последовательности натуральных чисел {«;,}, что
V 1 ^ V '
, - «С Л - = оо.
ft=l ft=l "fc
оо
222. (МГИ. 1976 г.) Доказать, что ряд 2 "4^ РаС" ходптся.
223. (МИПСН, 1977 г.) Сходится ли ряд 2? „« _\n J
П=1
со
224. (МШИ, 1977 г.) Сходится ли ряд 22
71=2
225. (МИРЭА, 1976 г.) Исследовать па сходимость ряд
ос
2 я^где о] = 1, 0„+] = cosfl,,.
71= I
226. (МТИЛП, 1977 г.) Исследовать сходимость ряда
оо
2('-~*>
71=1 ^ '
227. (МИРЭА, 1977 г.) Исследовать на сходимость ряд
ос
V _!_ где ,г„ — положительные корни уравпепня x=\gx,
занумерованные в порядке возрастания.
228. (МИРЭА, 1977 г.) Исследовать на сходимость
оо
L v 1
положительный ряд —, где хп — положительные
71 1
корпи уравнения х = lg }'х, занумерованные d поря1ке возрастания.
оо
229. (МФТИ, 1977 г.) Рассмотрим ряд У ?111.
71=1
Разобьем Л'-ю частичную сумму этого ряда на два
3 В. А. Са ишшгчнй, А С По «кслэни 33
32
слагаемых
Од- = Л —— = 0^ + 0 .V,
71=1
где Sjy и Sx — суммы соответственно положительных и отрицательных членов. Доказать, что существует lim—, и найти его.
се
230. (МТекстН, 1977 г.) Пусть ряд ап расходится,
ОТ
TT 17
о„>0 и Sn = ?i+(72+.. .+an. Доказать, что ряд > —2
»1=1 n
расходится.
231. (МЭИ, 1075 г.) Дан ряд Z «»К>0). Пусть
71=1
существует
In (1 'я )
lim } "; = g.
Доказать, что при ц > I ряд сходится, а при д < I — расходится.
232. (МЛДИ, 1975 г.) Исследовать сходимость ряда
]2+}Г2-\ 2 + ]/2-1 2 + Г2 +
+ |/2 - ]7 2 + /2 + ]/2 + • ¦ ¦
233. (МГПИ, 1975 г.) Пусть число а > 0, {/?„} — числовая последовательность, причем р„ "> 0, р„+1 ^ До-
V Л» -
казать, что ряд ^-^-сходится.
„=1 Рп1'п-\
234. (МИФИ, 1975 г.) Последовательность {.?•„} с положительными членами монотонно возрастает и ограничена. Доказать, что ряд (1 ——— ) сходится.
„=, \ гп+1 )
ОО
235. (УДИ, 1976 г.) Сходится ли ряд 2] к"1, где
71= 1
Щ =а 1, «2 = 2, 11п — и„-2 + «п-1 при и ^ 3?
236. Доказать, что последовательность
1 , 1 .1 1 "
имеет предел, заключенный между 0 и 1/2.
237. (МАДИ, 1976 г.) Найти сумму ряда V «I.
оо
238. (МИЭТ, 1977 г.) Вычислить V 2"~\
2"
239. (УДИ, 1977 г.) Найти сумму ряда
|<- «)"-''•('
240. (МАДИ, 1976 г.) Найти
л4 , п* л13 1 2*-41 ' 2^-8! 2,2-121 ' ¦•• 1 л4 л* лп '
ТГ + 24-С! + 2Ми! + 2ПЧТ1 + ¦"
241. (МПСиС, 1977 г.) Доказать, что при р> 1
со
п—1 (п 1г 1) } п
оо
242. (МТПЛП, 1975 г.) Известно, что V :
71=1
Найти сумму ряда ^ Ъп -1)*'
243. (МАДИ, 1975 г.) Доказать равенство
о "•=«
244. (Мех.-мат., 1975 г.) Вычислить сумму ряда
ОС
V 1
—- с точностью до 0,01 (требуется дать ответ, а не оценку ошибки),
3* 35
34
245. (Мех-мат., 1975 г.) Вычислить сумму ^
n=l
246. (МИСИ, 1977 г.) Найти сумму ряда 1—Зх2+ї>х4-7хеА-.. .+ (_1)"(2« + 1).г2"+...
247. (МИСИ, 1976 г.) Разложить
1
в степенной ряд.
248. (МАДИ, 1977 г.) Функция
/(г) = (1-^)(1_^г)(1_^2) _ (|г;| < ()
разлагается в степенной ряд /(с) = А0 + А\г + А2г2-{-~.., Определить коэффициенты Ап этого разложения из функционального уравнения /(г) = (1 — ^г)/(^г).
249. (МИИСП, 1977 г.) Определить область сходимости ряда
»1- 1
250. (МТекстИ, 1977 г.) Пантп область сходимости
ряда
V
71=1
\S1I1 II)
251. (МАДИ, 19/7 г.) Пусть ср(.г) определена для положительны* ввачоннй х, причем при достаточно больших х может быть представлена рядом
фН = "« + 7+-+) + -.
где а0,а\---- действительны. Доказать, что ряд <р(1) +'
+ (р(2) + ¦ • • сходится тогда и только тогда, когда Оо = а1 = 0.
252. (МИРЭА, 1977 г.) Сходится ли равномерно на "(—то, +оо) ряд
оо
253. (МАДИ, 1977 г.) Вое конечный в обоих отравлениях ряд
равномерно сходится к функции #(•*), причем g(0) =2. Найти g(x).
ОО
254. (МЭНС, 1976 г.) Показать, что ряд 1 + д,
п— i
сходится при х ^ 0 п расходится при а; < 0. Пусть f(x) ^ 2d + п.*' Показать, что /(х) непрерывна при х~> 0 н дифференцируема при х > 0.
оо
255. (МГПИ, 1977 г.) Сгененпой ряд 2 имеет
периодические с некоторого места коэффициенты. Доказать, чго на некотором невырожденном интервале он совпадает с рациональной функцией. Верно ли обратпоо?
256. (МФТИ, 1976 г.) Доказать, что фупкция f(x) —
DO
— 2ji ahxh рацоопальпа тогда и только тогда, когда су-
ществуют постоянные с0,С|,...,с„ такие, что для всех г/г, больших некоторого то, иыполнепо
