Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
а
186. Функция /(.г) имеет пепрерывную первую производную па отрезке [0, 1 ]. Доказать, что
1 / 1
J|/(a)|f/*<max [§\f!(x)\dx, о \0
187. Доказать, что для непрерывно диффсрснцируо-мой на [а, Ь] фупкцип /(а)
ь
т ах | /' (а) | > (Т4^-2 j | / {х) J Лг, если / (а) = / (Ь) = 0.
* а
188. (МИЭМ, 1976 г.) Пусть /(.г) непрерывно дифференцируема на [0,1] п /(1) —/(0) = 1. Доказать, что
1
J(/' 1.
U
СО
189. (МШИ, 1977 г.) Доказать, что f-Ц--
jj (1 +хг) (1 +
пе зависит от величины а.
190. (МЭИС, 1976 г.) Пусть /(ж, у) — дифференцируемая в единичном круге функция и /(0,0) = 0, Доказать, 28
о в
191. (МФТИ, 1976 г.) Пусть интеграл J /(ж)dx схо-
дптся и равен Л Доказать, что интеграл ^ 1{х--1-^ Л»
также сходится и равен 1.
192. (МИЭМ, 1975 г.) Доказать, что если функция
оо
/(г) непрерывна при х 1 и интеграл | х] (х) dx схо-
1
•о
дится, то сходится и интеграл ]" / 'х) dx.
1
193. (МИИТ, 1976 г.) Существует ли функция, непро-рывная п положительная на [0, +°°) такая, что [ f(x)dx
о
сходится, но /(х) не стремится к 0 при Z-V + OO:
194. Функция 1(х) неотрицательна и имеет первую производную на полуоси х ^ 0, |/'(х)|^2, причем
\f(x)dx сходится. Следует ли отсюда, что Hm f [х) -0? о х-+х>
195. (МВТУ, 1977 г.). Исследовать па сходимость интегралы:
оо оо
X dx
+ X2 COS2
196. (МГИ, 1977 г.) Функция f{x) поочередно принимает на интервалах [0,12), [I2,22),..., [(л — I)2,и2) значения 1 и —1. Доказать существование предела t
lim \ / {х) dx и найти его.
197. (МФТИ, 1977 г.) Исследовать на сходимость интеграл
ij- со С dx
J 1 -f- ха si»s .
а»
198. (МИИТ, 1977 г.) Функция f(x) определена, непрерывна н строго положительна на отрезке [0, 1]. Найти
lim ( \ } ]'{х) dx
199. (УДИ, 1077 г.) Вычислить предел
lim ( f | / (х) \р dx) , где f{.i) еС[0, 1].
200. (МГИ, 1975 г.) Доказать, что уравнение
а
о 4 '
имеет корень а, лежашпй на интервале (50, 100).
201. Пусть непрерывная функция f(x) такова, .что
J xnf (х) dx = 0 при всех л<Л;. Показать, что /(ж) я
на отрезке [а,Ь] обращается в нуль по крайней мере Л -f- 1 раз.
202. (МГПП, 1976 г.) Доказать, что если для непрерывной на ( — оо, +оо) функции f(x) выполняется
| /(/)<Л = 0, то f(x) периодична.
ж
203. (ММИТ.1975 г.) Существует лп функция /(ж) па отрезке [0,2], удовлетворяющая следующим условиям: / непрерывно дифференцируемая на [0, 2],/(0) = /(2) =
1, l/'WKi,
$f(x)dx
<1?
204. Пусть функция f(x) непрерывна на [0,1], {хк} — последовательность точек отрезка [0,1], причем если (а, Ъ) а [0, 1] и Nn(a, b) — число точек из множества {.ri,..., хп}, попавших в интервал (а, Ь), то lim - Nn {а, b) = = 0 — а. Доказать, что
п I
SO
205. (МИЭМ, 1977 г.) Доказать, что если /еС2[0,1],
то
lim п
и ft=0 \ '
/П)-/(0)
206. (МИЭМ, 1976 г.) Пусть Р(х,у) и (?(х,у) — функции класса С1 на всей плоскости. Известно, что
1" Р {х, у)дх + () {х, у) dy = 0 по полуокружности у =
= Уо Н- Т'й2 — (х — zo)2, причем zo, уо, R — любые. Доказать, что Р(х,у)^0 и ^S0.
207. (УДН, 1977 г.) Функция /(.г) непрерывна на [а, Ь\, и для любого сегмента
имеет место неравенство
а, р] (а ^ а < ? < Ъ) <.l/|?-a|' 6(Л*,б-
положительные константы). Доказать, что f(x) = 0 па [а, Ь].
208. (МЭИ, 1977 г.) Пусть функция /(.г, у) непрерывна вместе со своими вторыми производными в круге
В радиуса R, причем ( [ (/«Л>/ — ilxyY) dx dy < 0 для
'е
любого подмножества Е Е В. Доказать, что f(x, у) не достигает максимума и минимума внутри круга В.
209. (МФТИ, 1977 г.) Пусть ч — простая замкнутая кривая с непрерывной кривизной, ограничивающая выпуклую область D. Вцедем функцию р{х, у), равную кратчайшему расстоянию от точки (х, у) до кривой, взятому со внаком минус, если (х, у) е Д и со знаком плюс, если [х,у)Фй. Доказать, что при достаточно малых а>0
j j Р ix, У) dx dy = 4f па3.
210. (МИСпС, 1976 г.) Доказать формулу Пуассона
( f / {ах + by+cz) ds ш. 2л J / (и У а? + б2 + с2) du, s —1
где S — поверхность сферы ж2 + j/2 + z2 = 1.
2^ 1. (МФТИ, 1976 г.) Пусть у(х, у, z) и ф"(.г, у, г)" — дважды непрерывно дифференцируемые в области
31
1/2 •< г •< 2 (г = У а2 + У2 + г2) фупкппи. Доказать, что лоток вектора дгагі (г X дгасі ф через сферу г = 1 ранен нулю.
-С X — У дХ
212. (МНСпС, 1976 г.) Вычислить $ А'» + У* *
с
где X = ах + Ъу, У = сх + ду, ад.—Ъс ф О, С — простой замкнутый контур, окружающий начало координат.
213. (МФТИ, 1976 г.) Вычислить интеграл
| [ \ | ^'хЧхх6іхгйхг6х ^ "и
4
где (Лі:, х) = 22 аихіхі — положительпо определенная ..)=і
квадратичная форма, а Ю — область (Ах, х) ^ 1.
Ряды
214. (МАТИ, 1977 г.) Привести пример расходящегося знакочередующегося ряда, общин член которого стремится к пулю.
215. (МИФИ, 1975 г.) Построить пример сходящегося
со
ряда 2j ап с положительными членами, у которого ап ф фо(їіп).
216. Привести пример такого сходящегося ряда
ОО
2j ап, что ряд 2j ап In п расходится.
П=1 71=1
го
217. Привести пример такого сходящегося ряда 2 ап,
