Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
к-»0
2 В. А.
Библиотека и-титута
Свров^НЧИЛ, А. С ПОД1ИЙ181№ Ч
17
100. (МИНХиГН, 197(5 г.) Найти предел
1- It КС \Ux
101. (МАИ, 1976 г.) Найти предел
У\ -€~Х— Vl -COS Г
lim
х-*+0 1/sin.
102. (МИХМ, 1977 г.) Вычислить lim'/l — х + sin х.
103. (МЭСИ, 1977 г.) Определить Лиц таким образом, чтобы имело место равенство
Uta (Vl - а? - he - у) =*0.
104. (МАИ, 1977 г.) Найти lim s'n ('"-O-H"*- 0
105. (МИЭТ, 1977 г.) Вычислить
Hm 'gCe^) —sin (sin.r)
106. Функции /(ж), g(:c) заданы на всей оси и существуют последовательности {•*>}, {(/„} такие, что равномерно на всей оси lim f (х -f = g(x) + Л,
lim / (.т + yh)=g {х)-\-В, где Л, ? — постоянные. Дока-
зать, что если }(х) ограничена, то А = В.
107. (МИЭИ, 1975 г.) Функция /(*) определена на полуоси [0, + со) и равномерно непрерывна на ней. Известно, что lim / (х -f га) = 0(п — целое) для любого х>0.
Доказать, что {Hm f (х) = 0.
108. Функция f(x) определена на интервале (а, Ь) п удовлетворяет условию f(Kxi+ (1 — }.)х2) ^lf(xi) + + (I —л)/(ж2) для любых х\, .г2е(я, Ь) п для любого k такого, что 0 < Л < I. Доказать, что f(x) неирерывна па (а, Ь). Верно ли то же самое, если вместо интервала (я, Ь) взять отрезок [я, Ь]?
109. (МИУМ, 1976 г.) Пусть А — кольцо всех функций, непрерывных на [я, b], 1аА — собственный идеал
этого кольца. Доказать, что если /|, /„е/, то существует точка хо^[а, Ь] такая, что fi(xo) =0 для каждого i = 1, .... п.
ПО. (МИИТ, 1976 г.) Пусть функция /(.г) непрерывна на [0, 1] и /(0)=/(1)=0. Доказать, что существует функция g{x), непрерывная и с выпуклым вверх графиком такая, что g(0) ~ g(l) ¦= 0 н g(x) ^ f(x) на всем отрезке [0, 1].
111. (МГПИ, 1975 г.) Существует ли непрерывная действительная функция, определенная па отрезке [0, 1], принимающая каждое значение из отрезка [0,1] в континууме точек?
112. (МГПИ, 1976 г.) Существует ли непрерывное отображение отрезка [0, 1] па квадрат [0, 1]Х[0, 1] такое, что прообразом каждой точки квадрата служат ровно две точки отрезка?
113. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть Е — подмножество отрезка [0,1] и /(.г)—действительная непрерывная функция на Е. Доказать, что ее можно доопределить во всех остальных точках отрезка [0, 1] так, чтобы она оставалась непрерывной ua Е.
Дифференцирование
114. (МФИ, 1977 г.) Доказать, что выражение 5 =
- '/" 3 (у" \2 ,,
— ^--~\уг) не ИЗЛ1енптся' если заменить у на 1/у.
115. (МТИПП, 1977 г.) При движении лодки в спокойной воде сопротивление среды вызывает замедление, пропорциональное скорости движения. Моторная лодка движется в момент остановки мотора со скоростью 200 м/мпн. а через 1/2 минуты уже со скоростью 100 м/мпн. С какой скоростью она будет двигаться через 2 минуты?
116. (МАДИ, 1977 г.) Пусть
ху *l+ !f при 3:2 + г/2 ^= о.
0 при х — у — 0.
Справедливо ли равенство
дЧ (г. »/) _ д"Цх. у)? дх ду ду дх
10
18
117. (СТЛНКИН, 1976 r.J Пусть
,, , . . sin За; , sin 5х . sin 7х
f (х) = sin х -|--jj--1--g--1--р-.
Показать, что /'(я/9) = 1/2.
118. (МАДИ, 1976 г.) Оцсппть абсолютную погреш-< пость приближенной формулы tg х » х + -7j при I a; I ^0,1.
119. (СТЛНКИН, 1977 г.) Найти производную десятого порядка при х — 0 ог функции у — х2 cos 2-е.
120. (МЭСИ, 1975 г.) Построить функцию, дифференцируемую в точках х\ — U, х2 — 1, хз = 4 и разрывную в остальных точках.
121. (МПСнС, 1976 г.) Пусть /(.г)I = (1 + x\Ux при х > 0. Доказать, что
j(.r) =е + Лх-{-Вх2 + о (х2) при я -> + 0.
Найти /1 и В.
122. Функция /(ж) определена па всей осп п обладает следующим свойством: /(х -f- Л с)— /(х) = J (х) Дх+ + а(х, Ах) (— со < х < + оо), где |сс(х,Дх) | ^ С\Дх|3, С = const. Доказать, что /(х) = Лх -f- ?, /1 = const, R = const.
123. (.MUCH, 1977 г.) Пусть /(x) — нечетная, дифференцируемая па (— со, -f- со) функция.
а) Доказать, что /'(х) —четная функция.
б) Верно ли обратное утверждение?
124. (МИФИ, 1975 г.) Пусть /(х) — четная функция, он ре именная на отрезке [—а, а] п имеющая в точке х = 0 все производные. Доказать, что все производные нечетною порядка этой функции при х = 0 равны пулю.
125. (МПСИ, 1977 г.) Пусть /(х) — четная, дважды непрерывно дифференцируемая функция, причем /"(0) ф ф 0. Доказать, что точка х = 0 является точкой экстремума этой функции.
126. (МТекстП, 1977 г.) Пусть /(.г) дважды дифференцируема на (0, со), lim / (х) = 0 н |/"(х)| *S 1 при
Л- >со
U << х < со. Доказан., что lim /'(х) = 0.
127. (МПСнС, 1975 г.) Пусть функция /(.г) дифференцируема на отрезке [П. 1] н /'(О) /'(1)<0. Доказать, что на интервале (0, I) найдется такая точка с, что /'(с)=0.
128. (МЭСИ. 1976 г.) Функция /(х) дифференцируема на отрезке [а, Ь]. При переходе через точку | е (а, Ь) про-20
пзводнап /Ч-г'У мепяет знак и /'(sj = 0. Доказать, что существуют такие а, Ь], а<Ср\ что /(Р)— /(а) = 0.
129. Фупкция /(х) имеет на полуоси (0, + со) непрерывную производную, /(0) = 1, |/(х)|0~* при всех х 0. Доказать, что существует такая точка х0, что
/'(*о) - - е~".
130. Пусть функция /(х) дважды дифференцируема па всей оси и ограничена. Доказать, что найдется точка хо, в которой /"(хо) = 0.
