Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
где 0 < 0 < 1. Наитп lim 0.
ж—Il
158. (Мех.-мат., 1975 г.) Фупкцпя /(ж) бесконечно дифференцируема па интервале (а, Ь), причем /ln)(-T) ^0 при всех л = 0,1,2,... Пусть жое(а, 6). Может ли ряд Тейлора функции /(.т) в точке Жо расходиться при всех х ф хР.
159. (Мех.-мат., 19/7 г.) Функция /(ж) определена п дифференцируема на (0,-f-co); >. — действительное. Доказать, что фупкцпя /'(ж) + Я/(ж) не убывает тогда и только тогда, когда не убывает /"(ж)^'"*.
160. Па отрезке [а, I] задана функция /(ж), обладающая производными всех порядков, равпая нулю иа бесконечном мпожестве точек и не равная _тождествеппо нулю пи на каком отрезке. Доказать существование такой монотонной последовательности точек {с,,}, что |/""(с") |->
со при п -*- со.
161. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть /: Д"-*-/?1 удовлетворяет условиям:
а) для каждого ж = \х\, ..., ж„] пз /?" существует
Пгн /С*>-М0) ^т^,...,*,,);
/-Ч-о
в) существует Л/ > 0 такое, что [/(ж)—](у) | < М \\х- у\\.
Доказать что /(ж) = /(0) + V{x) +о(||ж||) при ж->0.
Интегрирование
162. Что больше:
я
^ ^|П'*ЙЖ ЕЛИ -у^?
163. (МФТИ, 1977 г.) Найтп положительную дифференцируемую на [0, +со) функцию /(ж), если известно,
х
что при замепе независимой ' переменной ? = j" A') dt
о
она переходит в функцию е~г.
164. (МОТУ, 1975 г.) Доказать, что фупкцпя у =
х
= ех' | c—ftdt является монотонно возрастающей. Какому о
дифференциальному уравнению первого порядка она удовлетворяет? С каким начальным условием?
165. Функция /(ж) интегрируема на [0,1], причем
1
\ / (ж) йх ^> 0. Доказать, что существует отрезок [а, Ь] а
о
cz [0. 1], на котором /(ж) > 0.
166. (МИПХ, 1975 г.) Обнаружить неточности в следующей цепи рассунэдепий: интегрируя по частям в интеграле С cos* dx (-J— = и, cos х dx = dv, du = — cos„r dx,
1 J sin x ysmx 1 ' sin2 г
i!=sini), будем иметь
С cosX , I . , С . cost ,
—.--dx — --Sin Ж -f \ Sin Z—T-jr—dx =
J sill a: Sill X J Sin2 a:
e 1+ fi°»<fc =2+ [SSlI-dx^ ...= «+ [c^dx,
1 + J sin x J s'n* J sm a:
откуда 0=1 = 2 = ... = п.
25
24
167. (МИПХиГП, 1976 г.) Вычислить площадь, огра-, ничейную кривыми
\з* -f у2) 2 = 2о2 (ж2 - у2), х~ + у27? о,2.
168. (МИСИ, 1975 г.) Дано параметрическое уравнение эллипса: х = 2cos ф, у = sin ф, а = 2, Ъ = 1 —полуоси. Зная, что p2 = #2jf [Л студент вычисляет площадь эллипса так:
(я/2 \ П/2
1 j" p«d<p I = 2 j" (4cos2 ф + sin2 ф) Ар = U ' и
Известно, однако, что S = nab = 2л. В чем ошибка студента?
169. (МЭИ, 1977 г.) Найти кривую, для которой площадь Q сектора, ограниченного самой кривой г = г(ф) п полярными радиусами ф = 0, ф = ф1, вычисляется по
формуле Q = \ г2 (ф,)-
170.(МЭИ, 1977 г.) Точка А находится внутри окружности радиуса а на расстоянии b от центра. Вычислить площадь, ограниченную геометрическим местом оснований перпендикуляров из А на касательные к окружности.
171. (МТИПП, 1977 г.) Вычислить массу земной атмосферы (землю считать шаром радиуса R0), если плотность ее вещества меняется но закону ¦у(Л) = Yje--*", где h—расстояние от поверхности Земли.
172,(ВТУЗ — ЗИЛ, 1977 г.) Найти цептр тяжести тонкостенной оболочки, имеющей форму параболоида вращения г = 1 — {х2 + у2) (х2 + у2 ^ 1) •
173. (МНИТ, 1977 г.) Определить объем тора (тела, полученного вращеппем круга радиуса Е вокруг не пересекающей его оси). Расстояние от центра круга до оси равно d.
174. (МИНХиГП, 1976 г.) Вычислить объем тела,
я ~\/гг + I/2 , _ Г)
ограниченного поверхностями z = с cos-^—•¦—, z — и,
у = х tg а, у = х tg ?, где а > 0, с > 0, 0 < а < ? < 2л.
175. (МТИПП, МГИ, 1975 г.) Пространственное тето Т, состоит из всех точек, находящихся на расстоянии, не большем к, от данного выпуклого многогранника S.
V (г)
Пусть Г (г) — объем этого тела. Найти lim ——.
r-*-J-» f
176. (МОПИ, 1976 г.) Найти j (-l)[x1o\r.
177. (МТекстИ, 1977 г.) Вычислить
1
\^t=f-dx («>0, fc>0). о
178. (МИУИ, 1975 г.) Доказать формулу Фруллапи
U
СО
Г / (*) .7
если f(x) — непрерывная функция и \ -у- ах сходится
А
при всех А > 0.
179. (МАДИ, 1977 г.) Известно, что если f(x) моно-
оо оо
тонна и Г / {х\ dx сходится, то \ / {х) dx = lim h V / (nli). Найти предел
UT-U - o(rfr тт? + - + rfW" '¦••¦)¦
со
180. (МАДИ, 1977 г.) Вычислить интеграл Г xdx ,
о e +1
оо
если известно, что ~сГ'
1 а
181. (МИЭМ, 1976 г.) Доказать, что ] sin.Ate > 0.
182. (МИФИ, 1975 г.) Функция /(х) непрерывна отрезке [0,1]. Доказать, что
f х/ (sin х) dx = у j" / (sin х) а\с. и и
183. (МФТИ, 1977 г.) Пусть /(х) непрерывна па [о, Ь]
,1 г, + хг \^ I (-Г,) + / (J2)
и удовлетворяет соотношению /I —2— 1^" 2 " '
Доказать, что
f^+±Yb-a)^f^dx< /(«) + /<») (Ь_а).
184. (МИИТ, 1970 г.) Доказать, что если f{x) и g{x) непрерывны ы обе либо возрастают, либо убывают на [0, 1], то
1 1 1
\f(x)g И dx > j / (*) с7а; J ? (а) dx. 6 о о
185. Функция f(x) непрерывна п положительна па
+°°
всей осп. Известно, что | е-"-3-!/ (ж) da: ^ 1 при всех f.
•—ОО
b
Доказать, что при всех а и 6 (о <С Ь) |/ (a:) dx ^ -fc ~ д -f 1.
