Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
131. (УДП, 1976 г.) Пусть функция /(х) дифференцируема на сегменте [xj, хг], причем 0 •< Х\ < х2. Доказать, что
Г2 — *1 f (г,) f (trt) I
где ; S (Xi.x2).
132. (МГГШ. 1975 г.) Пусть функция /(x) непрерывно дифференцируема на интервале (а, Ь). Верно ли, что для любого 0 <= (о, Ь) обязательно найдутся такие Xi,x2 е (а, Ь), что
у /щ _ / fag) / (^i)q •ra — rl
133. (МЭСИ, 1977 г.) Функция ф(х) дифферепцпруема и удовлетворяет условию ф'(х) = F (у(х)), где F{x) имеет производные нсех порядков. Доказать, что функция ф(х) также имеет производные всех порядков.
134. (УДИ, 1977 г.) Пусть f(x)eC"(a, b) и существует последовательность чисел со, Ci,..., с„ такая, что
л ft
^с2ф0 п ci/(,)(-r) — 0. Доказать, что тогда /(х) е
i I) i-U
eC"°(fl, b).
135. (МИСИ, 1977 г.) Известно, что j/ = /(r) имеет наклонную асимптоту и /"(х) > 0. Доказать, что график функции у = /(х) приближается к этой асимптоте сверху.
136. (МПСиС, 1975 г.). Функция /(х) пепрерыппо шфференцируема и выпукла вверх на полуоси (0, + со). Известно, что lim/(x) существует и конечен. Доказать,
что lim /'(х) = 0.
Г37."(СТАНКИН, 1976 г.) Непрерывная функция /(х) иазывается выпуклой, если для любых а и
21
s^2"(/(rt) Доказать, что если /(ж) выпукла, то
а) /("'*„ + °" )> 7 (/ К) + ...+/ Ю);
б) / (i/>(fli)>i Р,/(в,), если />г>0, ?
\i=l / i-l i=l
138. (МПНХиГП, 1976 г.) Всегда ли произведение двух вогнутых функции есть вогнутая функция?
139. (ВМК МГУ, 1976 г.) Пусть функция /: (я, b)-+R непрерывно дифференцируема, и пусть для любых ж и у из (я, Ъ) существует единственная точка z такая, что
——^ = /'(z). Доказать, что f(x)—либо строго вы-
У 2*
пуклая, либо строго вогнутая функция.
140. (МПЭМ, 1977 г.) Функция /(ж) дифференцируема на отрезке [0,1], причем выполнены условия: /(0) = 0, \f'(x)\<K\f(x)\. Доказать, что f(x) яв 0.
141. (МИРЭА, 1970 г.) Пусть /(.г) - бесконечно дифференцируемая на (—оо, -f-oo) функция такая, что
1) существует L > 0: |/""(x)|^L для всех ie е ( —оо, + оо), ra&V;
2) /(l/n) =0 для п =1,2,3,... Доказать, что /(ж) е= 0.
142. Функция /(ж) дифференцируема 2р -f- 1 раз на интервале (а, Ь) и имеет непрерывную на [я, Ь] производную порядка 2р; на концах отрезка она обращается в пуль вместе со своими производными до р-то порядка включительно. Доказать, что на интервале (я, Ь) найдется точка | такая, что /l2p+I>(!) = 0.
143. (МИЭТ, 1976 г.) Пусть
. . ( ж2sin—, хфО, ф (х) = х ^
I 0, х = О,
и функция /(ж) дифференцируема в точке х = 0. Доказать, что функция /(ф(ж)) имеет в точке х— 0 производную, равную П.
144. (МИЭИ, 1975 г.) Справедлива ли формула конечных приращений Лагранжа для функции
1
ж sin— при же
X
0 при х = 0?
хф 0,
145. (МИИТ, 1976 г.) Сколько раз дифференцируема в нуле функция
_ | Ж* 81П(1/Х), ХфО,
\0, ж-0,
и сколько ее производных непрерывны в нуле?
146. (МИСнС, 1977 г.)
/(*)
при х>0,
= I П при Х<0.
Но »
Доказать, что /(ж) бесконечно дифференцируема.
147. (МИЭТ, 1977 г.) Пусть /(ж) дважды дифференцируема, /(0) =/(1) =0 и min/(ж) = — I. 11спольз\я
»el0.li
формулу Тейлора, доказать, что max /"(ж) ^ 8.
»е| о, и
148. (МПХМ, 1976 г.) Функция f(t,y) имеет непрерывные частные производные. Известно, что /(0,0)=_0 п при ж2+ы2 5 | gtad Л 1. Доказать, что /(1, 2) < |'5.
149. (МФТИ, 1976 г.) Автомобиль начинает движение в пункте А и заканчивает его в пункте В. Расстояние S между этими пунктами он проходит за время Т. Доказать, что в некоторый момент его ускорение по абсолют-ной величине оудет не меньше чем ^2-
150. (МФТИ, 1977 г.) Функция /(ж), определенная Hli [0, + 00), продолжается на всю ось по формуле
/(х) =
/(ж) при ж>0,
J,ahf{—kx) 11Р11 х <°-
Ь=1
Доказать, что коэффициенты ah можно выбрать так, чтобы для любой функции /(r)eC"-'[0,-f ю) функция /(.г) была п — 1 раз непрерывно дифференцируема на всей оси.
151. (МФТИ, 1976 г.) Пусть /(ж) бесконечно дифференцируема на интервале (—я,я), н пусть последовательность fn){x) сходится равномерно на (—а,а). Пусть lim /""(О) = 1. Найти lim }{п)(х).
152. Функция /(ж) определена на всей оси, имеет производные всех порядков и |/("' (ж) — /("-"(т) I < 1/п2 для любого ж. Доказать, что lim/( '(ж) = се% с = const.
23
153. (BMII Ml У, 1970 г.) Пугть /(ж)" - бесконечно дифференцируемая функция, отображающая [0, -f-oo) на (0, 1], причем (—1)Чт[х) & 0 для /г = 0, 1, .... же
1_f (х\
е [0, +оо). Пусть g(x)=--Доказать, что тогда
(-1)У*'(а;) >0.
154. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть /(жь____ж,,)—гладкая
функция. Сколько существует производных порядка к от /?
155. (УДН, 1977 г.) Фупкцпя р(х) порождает цикл порядка п, если р (х) s= р["> (ж) и р (х) Ф рщ (ж) при к < и. Доказать, что для любого натуральпого п существует функция, порождающая цикл н-го порядка.
156. (МФТИ, 1976 г.) Доказать тождество
1.77. Функция /(ж) имеет производные всех порядков на интервале (—1,1); в точке ж = 0 все они отличны от 0. Пусть для 0<|ж]<С 1 и натурального п написана формула Тейлора
/ (*) = / (0) + /' (0) х -f ... + ^ff ж— + х",
