Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
69. Найти 1 im п sin (2лen I).
70. (МАДИ"7976 г.) Найтп
lim Him cos2fl (л/?г!.г)\.
71. (МФТИ, 1977 r.) Последовательность {.г„} определяется рекуррентно: хп = sinx„-i для п = 2, 3,...; х\ —
любое чп?ло из интервала (0, я). Доказать, что xn~~\f ^ при п-у со.
72.'(МАДИ, 1976 г.) Пусть а > Ь > 0. Определим последовательности:
«1 = -^гА fci = Уаь, н = ^~bi, К =* ...
°л + *п /-
• • ¦) ап+1 — ——~> Ь„+1 = У апЬп, ...
Доказать, что пределы этих последовательностей существуют и равны.
73. (МФТИ, 1976 г.) Пусть lim хп = я, lim уп = Ъ. До-
казать, что последовательность
ПРг, + *гУг,-1 + • • • -г a-„.vf
zn - -
сходится к ab.
74. В трехмерном пространстве заданы последовательности точек {А„}, {Вк}, {Ch}, {o«}, {Еь}, причем точки Аь+и ?ft+i, Ch+i, Dk+i, Ek+i являются середпнамн отрезков АкВь, BhCh, CkDk, DhEk, EhAh соответственно. Доказать, что в/е пять последовательностей сходятся к некоторой точке О.
75. (МИЭМЬ_1976 г.) На сторонах треугольпика папи-саны три числа a\l), а21\ аз1)- Эти числа стирают и вместо каждого пишут среднее арифметическое соседних (так
что вместо а'1'пишут а(і2)?=
4п+вз(п
, вместо а
шуг
< и
вместо a-j
пишут
а3
41} ни
4» + 4"
С полученными числами проделывают то же самое и т. д. Доказать, что lim а{"' существует (t = 1, 2, 3) н равен
„< i>
+ 4" + °з
(і
76. (МГТШ, 1975 г.) Пусть р — простое число; ап!»-делые числа, а2 + аЪ — b2^0 (mod/?), v0 = a, V\ = b, vn+i — vn-\ -f- vn (n^i). Доказать, что последовательность {t;„(uiod p)} чисто периодическая и ее период не зависит от чисел а и Ь.
77. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть а\, яг, —последовательность различных натуральных чисел, пе меньших 2. Доказать, что из нее можно выбрать подпоследовательность aiit аи,... такую, что a,-ft >
78. (МНЭМ, 1975 г.) Дана последовательность поло-
I і п Г~Г / а" +"гц-і"
жительных чисел \ап). Доказать, что шп
79. Дана система положительных чисел {ал} (у,Л = = 1,2,...), причем Пша,й= + оо для любого /'. Дтжа-
зать существование такой последовательности {Ь,) (/; =. = 1,2,...), что
Ит ЬЛ = + оо, Нт-^- = 0 (/ = 1,2,...).
80. (СТАНКИП, 1976 г.) Известно, что последовательность {Ьп} сходится. Может ли последовательность {с„}, где с„ = п(6„ — ^,,_|), стремиться к со?
81. (УДИ, 1977 г.) Вычислить предел
Л1™ і-ОТ-
82. Пусть число s > — 1 фиксировано. Найти
lim
l3 + 2' -f- ..»3
15
83. (ЫИИТ, 1977 г.) Пусть [х] — напболъгпсе пелое число, не превосходящее х п {х} = х—[х]. Найти lim {(2+j/3)"|.
84. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть {/„} — последовательность действительных чисел, причем
lim Wn-^-'Wa = а + р>
П-оо /tl+i — f,J п+2
Hm f:"/"-l/"+1 = сф (|"«K|?D. Доказать, что
lim—^- =a.
85. (МИЭП, 1975 г.) Последовательность {xn} удов-< летворяет условию 0 хт+п хп + жт для всех т и п.
Доказать, что последовательность сходится.
86. (Мех.-мат., 1976 г.) Дана определенная па всей прямой действительная, дифференцируемая, периодическая с периодом 1 функция j{x), причем в любой точке х справедлива оценка \ f{x) | < 1. Рассмотрим следующее отображение прямой р: х—*-х + f{x). Доказать, что
п —1
lim !r + p(r) + p{p(x))+ ... + р(/>(... рМ...))
существует и не зависит от х.
87. (Мех.-мат., 1976 г.) Доказать, что
Пш(1 + П + 4 + ...+4)в-«|.
88. (Мех.-мат., 1975 г.) Последовательность {/!„} определяется условиями
А2
/1u=1, An+i = -1„ (п^О)'.
Вычислить Л1975 с относительной погрешностью не более 1% (требуется дать ответ, а не оценку ошнбкп).
1С
Непрерывность
89. (МТИПП, 1977 г.) Привести пример функции, непрерывной ири всех действительных значениях х, кроме
х — 0, ±1, ±2, ±у,±3, ±у, ...,±n, ±i,...,
где функция имеет бесконечный разрыв.
90. (МАДП, 1976 г.) Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть разрывная функция?
91. (МНЭМ, 1977 г.) Функция f(x) равномерно непрерывна на (0, -f-°°)- Можно ли утверждать существование пределов lim / (х), lim / (ж)?
92. (МИНХ, 1977 г.) Функция j(x) непрерывна при з-^О и Iiiu / (а:) = с. Доказать, что J(x) ограничена
Х-*+эо
па [0, -f-oo).
93. (МИИТ, 1976 г.) Существует ли функция, значение которой конечно в каждой точке отрезка [0, 1], но не ограниченная в любой окрестности любой точки этого отрезка?
94. (МИНХпГП, 1976г.) Пусть f{x,V) = ^ + g_y)9-Показать, что lim (lim (/(х, у))\ = lim (Нш(/(а:, i/))\ = 0
к—0 \у-*0 J V-*0 \x-f0 1
п тем не менее lim/(я, у) не существует.
я-» о »—о
95. (УДИ, 1976 г.) Доказать, что функция {(х, у), непрерывная по каждой переменной х н у в отдельности и монотонная по у, непрерывна по совокупности переменных.
96. (МНИТ, 1975 г.) Доказать, что если функция непрерывна па отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна па этом отрезке.
97. (МИНХ, 1976 г.) Функция f(x) определена и непрерывна на окружности. Доказать, что найдутся две диаметрально противоположные точки а и Ъ такие, что На) = /(6).
98. (МИСИ, 1977 г.) Доказать, что Ух «= ^-*— arctgz п j/2 = ~ являются эквивалентными бескопечно малыми величинами при я—»--f-oo.
99. (МИХМ, 1976 г.) Найти lim \ L-\-хге».
