Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
441. (МФИ, 1977 г.) Имеется 10000000 монет, причем у одной из них герб с обеих сторон, а остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается 10 раз, причем при всех бросаниях она выпадает гербом кверху. Какова вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами?
442. (МФИ. 1977 г.) В лотерее продано 100 билетов по 30 коп. Разыгрываются \ денежных приза: 10 рублей, 3 рубля. 2 рубля и 1 рубль. Каково математическое ожидание чистого выигрыша для человека, купившего 2 билета?
443. (МФИ, 1977 г.) Три шахматиста участвуют в круговом турнире но следующей схеме: сначала играют А и Б. затем победитель играет с С, новый победитель играет с побежденным в предыдущем турнире и т. д. Турнир считается законченным, если кто-либо победит два раза подряд.
а) Какова вероятное!г, победы каждого из шахматистов, если все они одинаково искусны?
б) Какова вероятность каждого участника победить, если первую партию выиграл .1?
444. (МФИ. 1977 г.) Город состоит из п кварталов; в п, из них живет но а, жителей («1 + «2 + ... + пк = п). С Помощью случайной выборки без возвращения отобраны г кварталов и в каждом из них подсчитано число жителей. Пусть Х|.....л\ — соответствующие числа жителей.
Вычистить математическое ожидание и дисперсию величины х\ -{-...+ з;.
т45. (МФИ, 1976 г.) Из озера при первом улове вылавливают « рыб. Каждая из пойманных рыб метится красным пятнышком и выпускается обратно в озеро. При втором улове было выловлено г рыб. Первый и второй уловы независимы, число рыб в озере между уловами неизменно н равно N.
Найти />у(Л") —вероятность того, что второй улов содержит ровно к меченых рыб. Найти Л, при котором р&-(к) максимально.
446. (МФИ, 1976 г.) Л' и Г —две случайные независимые величины, равномерно распределенные па (—Ь, Ь). Иайти вероятность того, что уравнение I2 + 'А + У «= 0 имеет действительные корни. Найти предел этой вероятности при Ъ—*- со.
447. (Мех.-мат.. 1 '.»76 г.) Па шахматной доске размера пХп рисуется случайный прямоугольник, составленный ни нескольких квадратов. Найти вероятность того, что прямоугольник является квадратом.
448. (МФИ. 1977 г.) Числа 1.2____, п перемешаны
и расположены в случайном порядке. Какова вероятность р„, что хотя бы одно число окажется на своем месте?
449. (Мех.-мат., 1978 г.) Иайтн вероятность д„ того, что случайно выбранный определитель с элементами из поля 22 порядка п отличен от нуля. Доказать, что существует Гпн дп = 7 > 0.
П-*-ос
450. (Мех.-мат., 1976 г.) В шаре радиуса /? = 10 имеется шаровая полость радиуса /¦ = 5 с центром в центре шара. С какой вероятностью траектория частицы, попавшей в шар, пройдет через внутреннюю полость?
Е.9
ЗАДАЧИ ВСЕСОЮЗНЫХ СТУДЕНЧЕСКИХ ОЛИМПИАД (II ТУР)
ОЛИМПИАДА 1975 ГОД\
451. (1, 2 и 3 секции, 1 курс). Найти расстояния от каждой из точек (0; 4) и (0; 6) до параболы у (расстоянием от точки до параболы называется расстояпие от этой точки до ближайшей точки параболы).
452. (1 секция, 1 и 2—6 курсы). Какое наибольшее число пулей может иметь па ( — оо, -f-oo) функция
1 \х) ~ che і где ah действительны и различны, а ск
действительны и не равны пулю одновременно?
453. (1 и 2 секции, 1 курс). Что больше:
ff(«-w)
п=| 4 '
454. (1 секция, 1 и 2—6 курсы). Провести через центр правильного пятиугольника такую прямую, чтобы сумма квадратов расстояний от вершин пятиугольника до этой прямой была наименьшей.
455. (1 секция, I курс). Дана числовая последовательность аи 02,причем для любого 7 > 1 подпоследовательность а( j (п= 1,2,...) стремится к 0. Верно
ли, что я„-*-0-при ,?->-foo? (f.r]—см. па стр. 203.)
456. (1 и 2 секции, 2—6 курсы). Будит ли ряд
оо
_і -^j- е~* равпомерпо сходится па [0, +оо)?
457. (1 и 2 секции, 2—6 курсы). Найти
л" л4 л1'-' 1 + "5J" f 7J7" + "j^7 + • •.
458. (I секппя, 2—6 курсы). Вычислить
+ *>
J | eil jc — 0,1ft)
_.-чз
с. относительной погрешностью не более 20% (требуется дать отпет, а не оценку ошибки).
459. (2 и 3 секции, 1 курс). Нарисовать iрафик функции у (.г) — sin(За resinх). ^
460. (2 секция, 1 курс). Найти
lim arc(g(? — In х- sin x).
461. (2 и 3 секции, 2—0 курсы). Найти центр тяжести полушара.
462. (2 и 3 секции, 2—6 курсы). Построить график функция
х
/И= J Sin (/«)?//.
и
463. (3 секция, 1 курс). Дан шар радиуса /?. Каков наибольший объем прямого кругового цилиндра, вписанного в этот шар?
464. (3 секция, 2—6 курсы). Известно, что х-\-е" — — у + е". Верно ли, что sin .г = sin у?
465. (3 секция, 2—6 курсы). Нарисовать на плоскости Оху интегральные кривые (графики решений) уравнеиия
ОЛИМПИАДА 1976 ГОДА
466. (1 и 3 секции, 1 курс). Пусть ф—взаимно однозначное отображение плоскости на себя, переводящее каждую окружность в окружность. Доказать, что ф переводит любую прямую в прямую.
467. (1 секция, 1 курс). Построить непрерывное взаимно однозначное отображение полуинтервала на некоторое подмножество точек плоскости такое, что обратное к нему отображение разрывно.
468. (1 секция, 1 курс). Пусть Л, В—матрицы размера пХп, Е — единичная матрица размера пХи и Е — А В — обратимая матрица. Доказать, что Е — ВА— тоже обратимая матрица.
