Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
і
(a) I Sn—/(1 — l/n) I < 2. Поэтому последовательность {s„| является ограниченной.
(b) Если ф(x) = sn на полуинтервале [п, п-\-\) и 0 < х < у, то
]y(fr)-<P(*)Ky+*~*-
(с) ^ #е-**(р (/) dl = / -» 0 при х-*0. Поэтому о
CC
ГД(
К(*) = |ехр(-1).
CC
(d)
\ /С (л:) x~lt — = Г (1 +/0 ^ 0, если t вещественно.
о
(е) Положим H (х) = l/(ex), если (1+е)~1< л; < 1, и H (х) = 0 в остальных точках. Тогда
X -» со ЬЛ J
(f) Из (Ь) и (е) вытекает, что lim ф(х)=0.
X -»- со
Примечание. Если предположить, что пап—»0, то уже небольшого видоизменения первого шага (а) предыдущего рассуждения оказывается достаточно для доказательства.
15. Пусть Y—замкнутое подпространство в L1 (R"). Доказать, что Y тогда и только тогда инвариантно относительно сдвигов, когда для любых
Таким образом, замкнутые подпространства в L1 (R"), инвариантные относительно сдвигов, суть в точности замкнутые идеалы групповой алгебры L1 (R").
Часть третья
Банаховы алгебры и спектральная
теория
Глава 10 БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Введение
10.1. Определение. Комплексной алгеброй называется векторное пространство А над полем С комплексных чисел, в котором определено умножение, удовлетворяющее условиям
(1) x(yz) = (xy)z,
<2) (x + y)z = xz + yz, x(y+z) = xy + xz
и
{3) а (ху) = (ах) у = х (ау)
для всех элементов ху у и z из А и всех скаляров а.
Если к тому же А является банаховым пространством по отношению к некоторой норме, удовлетворяющей мультипликативному неравенству
(4) |1*0||<11*1ИЫ А, у ? А),
и, кроме того, А содержит единичный элемент <?, такой, что
(5) хе = ех = х (х^А) и
(6) IMI = I,
то А называется банаховой алгеброй.
Заметим, чго мы не требуем, чтобы алгебра А была коммутативной, т. е. чтобы ху = ух для всех X п у т А, п это условие ;не предполагается выполненным, если оно не оговаривается специально.
Ясно, что может существовать не более одного е? Л, который удовлетворял бы условию (5), ибо если е' также удовлетворяет этому условию, то е' =е'е = е.
Наличие единичного элемента очень часто опускается в опре* делении банаховой алгебры. Однако, когда в алгебре есть единич-бый элемент, имеет смысл говорить об обратимости (относительно
256
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
умножения), и это делает более естественным определение спектра элемента. Последнее в свою очередь делает более наглядным развитие всей теории. Кроме того, потеря в общности от предположения о наличии единицы невелика: большинство естественно возникающих банаховых алгебр обладает единицей, и любая банахова алгебра может быть дополнена единицей следующим каноническим способом.
Предположим, что А удовлетворяет условиям (1) — (4), но не имеет единицы. Пусть A1 состоит из всех упорядоченных пар (х, а), где X Z А и сс ? С. Зададим на A1 покомпонентно линейные операции, а умножение и норму определим, полагая
(7) (X1 а) (у, ?) = (ху + ay + ?x, a?) и
(8) ll(*,a)|| = |NI + |<4
Тогда алгебра Ax удовлетворяет всем условиям (1) — (6), причш единицей в этой алгебре служит пара е = (0, 1). Отображение X —» (а, 0) задает изометрический изоморфизм алгебры А на некоторое подпространство в A1 (и даже на некоторый двусторонний замкнутый идеал в A1) коразмерности 1. Если отождествить х с (х, 0), то A1 получается из А просто добавлением одномерного пространства, порожденного элементом е. См. примеры 10.3(d) и 11.13(e).
В силу условия (4) умножение является непрерывной операцией в А. Это означает, что если Xn—>х и уп—>у, то хпуп—>ху, и вытекает из тождества
(9) хпуп—ху = (хп — X) уп + X (уп —у).
В частности, умножение непрерывно слева и непрерывно справа:
(10) XnIJ-^XlJ и Xyn-^XlJ1 ЄСЛИ Xn—»X И уп—>у.
Интересно, что условие (4) можно заменить более слабым (на первый взгляд) условием (10) и что условие (6) можно опустить, не расширяя при этом класса рассматриваемых алгебр.
10.2. Теорема. Пусть А—банахово пространство и одновременно комплексная алгебра с единицей ефО, причем умножение в А непрерывно слева и справа. Тогда на А существует норма, индуцирующая исходную топологию и такая, что относительно этой нормы А является, банаховой алгеброй.
[Предположение е Ф 0 исключает неинтересный случай Л = {0}.]
Доказательство. Сопоставим каждому элементу а Z А оператор умножения слева Mx, определяемый равенством
(1) Mx(Z) = Xz (Z^A).
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
257
Пусть А — множество всех таких операторов Mx. Так как умножение справа предполагается непрерывным, то Acz 33(A), где !B(A) — банахово пространство всех ограниченных линейных операторов на А.
Ясно, что отображение х—>МХ линейно. Из ассоциативности умножения вытекает, что Mx = МхМу. Если х?Л, то
(2) \\х\\ = \\хе\\ = \\Мхе\\^\\Мх\\\\е\\.
Совокупность этих фактов означает, что отображение х—>МХ есть
изоморфизм алгебры А на алгебру А, причем обратное отображение непрерывно. Так как
(3) _ о MxM и и < и Mx (HI MJ и \\Ме\\ = \\1\\=1,
то А будет банаховой алгеброй, если, конечно, она полна, т. е. если она является замкнутым подпространством в 33 (А) относительно топологии, определяемой операторной нормой (см. теорему 4.1). Если считать полноту установленной, то по теореме о замкнутом графике отображение х —> Mx также оказывается непрерывным. Поэтому И X Il и I) Mx Il задают на А эквивалентные нормы.
