Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Поскольку \i является вероятностной
мерой, ц (0) = 1. Предположим, что ц. (t) = 1 для некоторого t Ф 0. Так как
00
<2) jx(t)= J е ~ixtdy, (X),
— (X)
то отсюда будет следовать, что мера \х сосредоточена на множестве всех таких точек х, где e~ixt=l, т.е. на множестве всех целочисленных кратных 2л//. Но это противоречит условиям теоремы, так что \.i(t)=? 1, если ?=?0.
ГЛ. 9. ТЛУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ
249
Если о — 6 — ц, где б—мера Дирака, то —и. Поэтому
0(/) = 0 в том и только в том случае, если / = 0. Уравнение (1) можно переписать в виде
(3) <р*«г = 0.
Пусть g(x)=exp(—х2), и пусть K = g*o. Тогда К ? L1 (R) и
K{t) = 0 в том и только в том случае, если / = 0. Кроме того, из (3) вытекает, что /С*Ф = 0. По теореме 9.3 (в применении к одномерному подпространству К, порожденному функцией К) рас-
пределение ф имеет своим носителем одноточечное множество {0}.
Поэтому ф есть конечная линейная комбинация меры 6 и ее производных (теорема 6.25). Следовательно, ф как распределен несовпадает с полиномом. Но тогда ф совпадает с полиномом почти всюду на R в смысле меры Лебега. Но по условию функция ф предполагается ограниченной на R, что и приводит к требуемому заключению. Щ
9.14. Свертка мер. Если ц. и I—комплексные борелевские меры на R", то отображение
(1) /-> jj I f(x +у) Cl1I (к) dl (у)
R" R"
представляет собой ограниченный линейный функционал на пространстве C0(R") всех непрерывных функций на R", стремящихся к нулю па бесконечности. По теореме Рисса о представлении существует в точности одна такая борелевская мера \.т-1 на R",. что
(2) J fd (u-Д) = [ J / (* +у) du (X) dl (у) (/ (E C0 (R")).
R" R" RM
Стандартные соображения, связанные с аппроксимацией, показывают, что тогда соотношение (2) выполняется для каждой ограниченной борелевской функции /. В частности, мы видим, что
(3) (\L*l)~ = цЯ.
Два других следствия соотношения (2) будут использоваться в доказательстве следующей теоремы. Одно из них почти очевидно и состоит в том, что
(4) Il Ц«Я |j< И ,и И ИIII,
где норма означает полную вариацию меры. Второе составляет тот факт, что мера ,и*Я абсолютно непрерывна (по мере Лебега тп), если этим свойством обладает мера п.. Действительно, в этом случае г
"250 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
для каждого у ^R", если /—характеристическая функция боре-левского множества E нулевой лебеговой меры. Поэтому, согласно (2), получаем (р*А,) (E) = 0.
Напомним, что каждая комплексная борелевская мера р обладает однозначно определенным лебеговым разложением
(6) H = + 1?»
где мера ра абсолютно непрерывна по мере Лебега тп, а мера [is сингулярна.
Следующая теорема принадлежит Карлину.
9.15. Теорема. Пусть р.—такая вероятностная борелевская мера на R, что
<1) |ie^0f
OO
(2) $ \x\dp{x)< оо,
— OO
со
(3) M= J xdp(x)^0.
— со
Предположим, что ff-L1 (R) и что f(x)—>0 яри х—> dboo. Пусть ф — ограниченная функция, удовлетворяющая уравнению
(4) ф (х)—(ф*р) (х) = / (х) (— оо < X < оо). Тогда пределы
(5) ф(оо) = Hm ф (х), ф(—оо)= Hm ф (х)
X-*- оо Ж-> — со
существуют и
со
(6) ф(оо)—ф(—оо)=1 § f(y)dy.
— со
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 9.13, положим а = б—р. Пусть
і—и ((—оо, х)), если X <; О,
(7) К (X) = а((-оо, х)) = < u Г*' w v v \ р ([х, оо)), если X > 0.
Из условия (2) вытекает, что К Є E1 (R). Прямое вычисление (детали мы опускаем) показывает, что
(8) J/СМ*"'* dxJ S (t)f> ЄСЛИ
v 7 J v I M, если г = О,
— со v ' '
и что
s
(9) 5 f (х) dx = (/С#ф) (s) - (/С»ф) (г) (- оо < г < s < оо), так как / = ф*ст.
ГЛ. 9. ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ
251
По условию (1) мера и. не сингулярна. Те же соображения, которые использовались при доказательстве теоремы 9.13, теперь
____
показывают, что а (/) Ф 0, если / Ф 0. Поэтому из (8) и (3) вытекает, что функция К не имеет нулей на вещественной оси R. Так как /^L1 (R), то из (9) следует, что функция /С*Ф имеет
со
пределы на ±<х>, разность между которыми равна J f.
— со
Мы покажем ниже, что функция ф является медленно осциллирующей. Если считать это установленным, то (5) и (6) будут вытекать из уже доказанных свойств функций К и К*ц> и теоремы Питта (утверждения (Ь) теоремы 9.7).
Повторная подстановка ф = / + ф*ц. в правую часть дает
(10) Ф = /Ч...Н-/*!*""1 + ф»|А» =
= + + (« = 2,3,4, ...),
где и.1 = ^, рп = ц*цп~1, = ...+^»M-""1 И (H) g« = Ф * 0*")«. Л» = Ф * 0*ПЬ-
Для каждого п функция gn равномерно непрерывна и fn (х)—> О при X—>±оо. Следовательно, fn-\-g„—медленно осциллирующая функция. Поскольку полные вариации удовлетворяют условию
(12) и (1*-Ы1< и IK и и, Ih
то мы получаем
(13) |А„ (*)|< Il ФІІ-ІІМ" (-оо<д;<со),
где ||ф||—верхняя грань |ф| на R. Согласно условию (1), имеем Il I1S Il <С 1 • Поэтому hn—> 0 равномерно на R. Следовательно, функция ф является равномерным пределом медленно осциллирующих функций fn-\-gn и поэтому сама есть медленно осциллирующая функция.Щ
Упражнения
1. Доказать теорему Таубера, приведенную в п. 9.1.
