Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть ср ^ L00 (R"), и пусть носитель распределения ф состоит из k различных точек s{, ...,sk. Построить подходящие функции ...,фй с таким расчетом, чтобы распределение (ф*"фу)Л имело одноточечный носитель \sj}, и вывести отсюда, что ф есть тригонометрический полином; точнее,
ф (х) = а,е"1'*+ ... -f a.ketsk'x (почти всюду). (Случай Л = 1 разобран в доказательстве теоремы 9.13.)
3. Пусть Y — такое замкнутое инвариантное относительно сдвигов подпространство в L1 (R"), что Z(Y) состоит из k различных точек. (Обозначения те же, что в теореме 9.3.) Используя упр. 2, доказать, что Y имеет коразмерность k в L1 (R"), и вывести отсюда, что Y состоит в точности из
252
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
тех функций /^Z.1 (R"), преобразование Фурье которых обращается в 0 на всем множестве 7. (Y).
4. Доказать следующий аналог утверждения (а) теоремы 9.7. Если q ?L°° (R") и если каждой точке ^?R" соответствует такая функция? L1 (R").
что Ki (I) ф 0 и (Kt * ф) (х) —у 0 при / X I —> оо, то (/ * ф) (х) —^- О при / х | -» —> со для каждой функции /^L1 (R").
5 l). (a) rijjCTb /C^ Л1 (R") и функция К имеет хотя бы один нуль t0 ф О в R". Показать, что тогда существует такая функция ф??°°^и), что •<Д'*ф)(х)=0 при всех x?R", но функция ф не обладает свойством (а) из теоремы 9.7. Указание. Рассмотрите функцию ф(х) = е-*'о-*.
(b) Показать, что условие t0 ф О существенно в предыдущей задаче. Точнее, пусть /<"?1х (R") и /if (O ^ О при ^ Ф 0. Если функция ф?1°° (R") такова, что (К *ф) (х) = 0 при всех x?R", то (/*ф) (л:) = Kf (0) для всех /^^1(R"), где 1—некоторая константа. В частности, левая часть здесь не зависит от*. Указание. Примените соображения, использованные в конце доказательства теоремы 9.13. На самом деле ф—константа.
(c) Пусть К^L1 (R") и К (t) фО при t Ф 0. Предположим, что некоторая функция (R") удовлетворяет условию lim (К *ф) (х) = 0. Показать,
I X I -»- со
ято тогда lim (/* ф) (х) = О, если /^L1 (R") и f (0) = 0.
I X \ -> =0
(d) Пусть ф = Я—функция Хсвисайда (см. упр. 24 в гл. 6). Показать, •что для каждой функции /^L1 (R)
lim (f* ц)(х) = 0 и lim (f *q>) (x) = f(0).
X -*— CO # -*- + CO
В частности, Hm (/ * <p) (x) = 0, если /(0)=0, но, вообще говоря, этот предел
I Л- I со
существует не для всех f^L1 (R). Ср. этот результате замечанием 9.8 после теоремы Винера.
6. Пусть ф (x) = sin (х2), —оо < X < оо. Показать, что
Hm (/*ф) (Jc)=O
I X I ->- со
.для каждой функции /??.1 (R), но утверждение (Ь) теоремы 9.7 не выполняется по отношению к функции ф.
7. При а >0 пусть fa—характеристическая функция отрезка [0, а]. По-л.ожим g = fa + /р. гАе определяется аналогично /а. Показать, что мно--Жссгво всех конечных линейных комбинаций сдвигов функции g тогда и только тогда плотно в L1(R), когда число ?/a иррационально.
8. Если a > 0 и ах=\, то доказать, что
I —а < а [х] 1,
и вывести отсюда, что функция ех К (х), фигурирующая в доказательстве теоремы 9.12, действительно является ограниченной.
9. Пусть Q — множество рациональных чисел. Обозначим через \л некоторую вероятностную меру на R, сосредоточенную на Q, и пусть <р—характеристическая функция множества Q. Показать, чго ф (х) = (ф * ц) (х) для всех
1) Это упражнение несколько расширено по сравнению с приведенным в оригинале. — Прим. ред.
ГЛ. б. ТЛУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ
253
jt?R, хотя ф и не константа. (Ср. с теоремой 9.13.) Какие еще множества, кроме Q, даю г подобный эффект.-*
10. Частные случаи следующих утверждений использовались в теореме 9.15. Доказать эти утверждения.
(a) Еслиф?1то (R") и kQL1 (R"), то функция k * ф равномерно непрерывна.
(b) Если {фу} — последовательность медленно осциллирующих функций на R", равномерно сходящаяся к некоторой функции ф, то и функция ф является медленно осциллирующей.
(c) Если ц. и X—комплексные борелевские меры на R", то
Il (|х*^Ы| ^ Il [is Jl.Il ks ||.
11. Пусть -ф (л:) = cos (| л: I1^3) и
1
f(x) = ^(x)--2- \ У(х—У)аУ ( —со < X < со).
Доказать, что f?Ll (R)DC0 (R), но никакое ограниченное решение уравнения
і
Ф
(х) —у J ф (х—у) dy= f (х)
не имеет пределов в +со и —со. [Это показывает, что условие M ф 0 в теореме 9.15 нельзя отбросить.]
12. Пусть |л—вероятностная мера, сосредоточенная па множестве целых чисел. Показать, что каждая функция ф па R с периодом 1 удовлетворяет уравнению ф—ф * fx = 0. [Этот пример связан с теоремами 9.13 и 9.15.j
13. Предположим, что ф??°° (0, со),
QO СО
С dx С dx
) \К Wl- < оо, у H(X)J-< со,
о о
со
С ч^х
\ К (X) x~lt — Ф О при — OO < / < 00 о
и
Доказать, что
л™ }кШ<р(м)^°-
со
Это обстоятельство аналогично утверждению (а) теоремы 9.7. Как надо видоизменить определение «медленной осцилляции», чтобы получить соответствующий аналог утверждения (Ь) теоремы 9.7?
14. Восполнить детали в следующем винеровском доказательстве теоремы
QO
Литтлвуда. Предположим, что \ пап\^\, f (г) =^апгп и f (г) -* О при г -+ L
о
Если s„ — G0+ • • • Л-°п> т0 надо доказать, что Sn -»0 при п -»оо.
254 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
