Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
то подпространство Y инвариантно относительно сдвигов. Наконец, К GY в силу условия (1), так как К *а = аК (0).
Из теоремы 9.5 вытекает, что Y =Ьг (R"). Таким образом^ каждая функция /^L1 (R") удовлетворяет условию (4), которое-равпосильно условию (2). Тем самым доказано утверждение (а).
Предположим теперь, что функция ср медленно осциллирует. Пусть є > 0 и А и б выбраны в соответствии с определением 9.6.
Выберем такую функцию fGL1(Rn), что /^0, /(O)=I и /(л-) = О при IX J ^ 6. Согласно (2), имеем
(7) Hm (/ %<$)(х) = а. Далее,
(8) ср (X) —(f * ср) (х) = J [ср (х) — ср (х—у)] f (у) dmn (у).
Из нашего выбора А, б и / вытекает, что
(9) k(*)-tf»<P)(*)l<e,
если \х \ > Л-f-o. Соотношение (3) теперь вытекает из (7) и (9).?
9.8. Замечание. В случае п=\ теорему 9.7 можно очевидным образом видоизменить, полагая х—*-f-oo вместо |л:|—*-оо. В утверждении (Ь) достаточно считать функцию ср медленно осциллирующей на +оо. Доказательства при этом не меняются.
Теорема о простых числах
9.9. Введение. Для каждого положительного числа х через п(х) обозначается число простых чисел р, удовлетворяющих условию р х. Теорема о простых числах (иначе называемая асимптотическим законом распределения простых чисел) устанавливает, что
(1) um !LW]QIf=I.
x->v> х
Мы докажем это при помощи одной тауберовой теоремы, принадлежащей Ингаму и основанной на теореме Винера. Главная идея заключается в замене весьма нерегулярной функции зт некоторой
ГЛ. 9. ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ
243
1
функцией F, асимптотическое поведение которой весьма просто распознается, и в дальнейшем привлечении тауберовой теоремы, что позволяет судить о поведении п по поведению F.
9.10. Подготовка. Буква р всюду в дальнейшем обозначает некоторое простое число; т и п—положительные целые числа; X—положительное число; символ [х]—целое число, определяемое неравенствами х—1 < [х] ^.х; запись d\n означает, что d и nid—положительные целые числа. Положим
(logp, если п — натуральная степень какого-нибудь простого числа р, 0 в противном случае; <2) Ф(*)=2Л(л);
П< X
со
<з) ^w= ?*(?)•
m=l 4 '
Будут использованы следующие свойства функций яр и Fi
44) Ф(*) < п(х) log X _J__, ц>(*) log*
* ' дг л: log X ' X log (x/log2 х) '
¦если JC > Є, И
(5) F (х) = X log je—я -f- b (х) log je,
где b (х) остается ограниченной при х—*оо.
Ввиду неравенств (4) теорема о простых числах оказывается следствием соотношения
<6) Ilm 4M.і,
X-*- со
которое будет выведено из (3) и (5) при помощи тауберовой теоремы.
Доказательство неравенств (4). Количество степеней числа р, не превосходящих х, равно [logAr/log/?]. Поэтому
H [й?11об^ S 1°?*="(x)iogjc,
что приводит к первому из неравенств (4). Если 1 < у < х, то
*w-«M- SkE ^<Ш-
Поэтому я (я) < # +1|> (jf)/log Полагая здесь y^x?og^x, получаем вторую половину неравенств (4).
Доказательство соотношения (5). Если п > I9 то
244
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Здесь т-е слагаемое равно 0, если п/т не целое, а в противном случае оно равно А(п/т). Поэтому
F(n)-F(n-l) = %A(?) = ]?A(d) = \ogn.
т\п ' d\n
Последнее равенство улавливает характер разложения числа п в произведение степеней различных простых. Так как F (1) = 0, то мы получаем, что
(7) F (л) = І log m== log (/і!) (л = 1, 2, 3, ...),
m = i
а это наводит на мысль сравнить F (х) с интегралом
X
(8) J ( ) = J loglog*—* f-1.
і
Если п^х^п {-1, то
(9) /(л)<^ (rt)<F(*)<F(rt+l)</(/i + 2)f так что
(Ю) l^(*W(*)|<2log(* + 2).
Ясно, что соотношение (5) вытекает из (8) и (10).
9.11. Дзета-функция Римана. Как это принято в аналитической теории чисел, комплексное неременное теперь будет записываться в виде s о-{-it. В полуплоскости о* > 1 риманова ^-функция определяется рядом
(1) C(S)=S /т*.
л=1
Так как |л~*| = л~а, то этот ряд равномерно сходится на каждом компакте из указанной полуплоскости и ? (s) оказывается там голоморфной функцией.
Простое вычисление показывает, что
W + 1 Д/ П+1 д,
s J [X]X-1^dX = S S л 5 JT1-M*= S я-*—AZ(JV+ 1)-*.
1 л=1 л "=1
Если о > 1, то А/ (N + l)-s —+0 при N—+CO. Поэтому
со
(2) C(S)=S J [X]X-I-UIx (о>1).
1
Полагая &(*) —[jc]—л;, мы получаем из представления (2), что
со
(3) t№=*T=i + s$bwx~1~sdx (°>1)-
ГЛ. 9. ТАУБЕРОВЫ TEOPFMbI 24S
Так как функция Ь(х) ограничена, то последний интеграл определяет функцию, голоморфную в полуплоскости о > 0. Таким образом, формула (3) приводит к аналитическому продолжению функции ? в полуплоскость ст > 0. Это продолжение является в данной полуплоскости голоморфной функцией всюду, кроме ТОЧКИ S=I, где она имеет простой полюс с вычетом 1. Наиболее важное из свойств функции ?, которое мы будем использовать, заключается в том, что эта функция не имеет нулей на прямой а=1, т. е.
(4) 1(1 + ІЇ)Ф0 (— oo<*<oo). Доказательство соотношения (4) опирается на тождество
(5) C(S) = H(I-P-5)-1 (°>1).
р
Так как (I—p~s)~x = 1 + /?"* + p~2s+..., то факт совпадения-произведения (5) с рядом (1) есть прямое следствие того обстоятельства, что каждое положительное целое число обладает однозначным разложением в произведение степеней простых чисел. Так как 2/?~°< °о при cr> 1, то из (5) вытекает, что ?(s)^0, если о > 1, и что
