Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
и пусть
05
Л(Ф) = — J 4(X)G (X) dx (<p€^>(R))
— со
Показать, что Л является фундаментальным решением для оператора P (D).
11. Пусть и — распределение в R", первые производные которого D1U, ... ...,DnU локально принадлежат к L2. Доказать, что тогда и и локально принадлежит-к ZA Указание. Если функция ф?<Ё>(Н") равна 1 в некоторой окрестности начала координат и если AE == б, то А (ф?) — 6?<2)(R"). Поэтому
л
«-2 (D1-m)MD1-Ol)e)) /=1
ГЛ. fi. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 237
содержится D С°° (R")- Каждое из распределений D/ (ф?) является /Лфунк-цией с компактным носителем.
12. Пусть и—такое распределение в R", что Au есть непрерывная функция. Доказать, что тогда и и является непрерывной функцией. Указание. Как и в упр. 11, имеем
и — (ф?)*(Ды)?С°° (R»).
13. Доказать аналоги утверждений упр. 11 и 12 для произвольного открытого множества Q с R71.
14. В условиях упр. 12 показать, что
(a) д'?и/дх\ локально принадлежит к L2, но
(b) д2и/дх\ не обязательно является непрерывной функцией.
Для периодических распределений в R2 (см. упр. 22 в гл. 7) утверждение (Ь) может быть выведено следующим образом. Для каждой функции g?С (T2) с коэффициентами Фурье g(tn, п) определим функцию /, полагая
](т, п)= (I т2 -\- nz)-xg (т, п).
Тогда /?С(Г2) и А/ = /—^C(T"2), так как 2 І/(ш» п) I < 00• Коэффициентами Фурье функции d2f?x\ служат —m2f(m, п). Если бы функция д2ї/дх\ была непрерывной для каждой функции g?C(T2), то (д2f/dx\) (О, 0) оказалось бы непрерывным линейным функционалом по g. Поэтому нашлась бы комплексная борелевская мера |Л на T2 с коэффициентами Фурье
ш2
U (ПІ, rt)=-;—-5—:-5 .
1 -f- m2 -j- пг
Однако следующее упражнение показывает, что такой меры не существует.
15. Пусть pi—комплексная борелевская мера на T2 и
А в
v 1 'v ' 'п=-Ат=-В
Показать, что
lim [ lim у (А, В)]= Hm [ lim у (А, В)].
Л -> сс ? -> сс ? -> оо Л -> со
А
Наводящее соображение. Пусть Da (t) = (2А -f-1)-1 ^ eint- Тогда DA (#)=1,
-A
если x—0, и Da (x)—> O в остальных точках. Далее,
у (А, В) = J DA (X) Dr (у) dp. (х, у).
Выведите отсюда, что оба повторных предела существуют и равны |л({0, 0}).
Если fx — мера из упр. 14, то один из пределов оказался бы равным І, а другой 0.
16. Пусть L — эллиптический линейный оператор на некотором открытом множестве QczR", причем порядок оператора L нечетен.
(a) Доказать, что тогда л=1 или л= 2.
(b) Если л = 2, то доказать, что все коэффициенты характеристического полинома оператора L не могут быть вещественными.
Ввиду утверждения (а) оператор Коши — Римапа оказывается не очень типичным примером эллиптического оператора.
Глава 9 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ
Теорема Винера
9.1. Введение. Тауберовыми называют теоремы, в которых выводится асимптотическое поведение последовательностей или функций из поведения их усреднений. Часто тауберовы теоремы представляют собой обращения довольно очевидных результатов, но обычно эти обращения требуют тех или иных дополнительных предположений, называемых тауберовыми условиями. Для примера рассмотрим следующие три свойства последовательности комплексных чисел sn = a0 4-... -\-ап:
(a) lim sn = s;
п -> OO
qd
(b) если f{r)=^anrnt 0<г<1, то \\mf(r) = s;
о і--* і
(c) lim/2o„ = 0.
Al-»-od
Так как /(/¦) = (1—r)^\snrn и (1—г) 2 г" = I1 то f (г) при каждом /"€(0, 1) есть некоторое усреднение последовательности {sn\. Совсем легко доказать, что из (а) вытекает (Ь). Обратное неверно, но (Ь) и (с) вместе уже дают (а). Это также совсем несложно, и впервые было доказано Таубером. Тауберово условие (с) можно заменить более слабым предположением, что последовательность \пап\ ограничена (Литтлвуд). Примечательно, насколько более трудным делается доказательство при таком ослаблении условия (с).
В тауберовой теореме Винера речь идет об ограниченных измеримых функциях, заданных (вначале) на вещественной оси. Если <p?L°°(R) и если ц>(х)—>0 при X—>-f-oo, то почти очевидно, что (/С*ф)(х)—> O при X—>-[-OO для каждой функции К € Lx (R). Свертку /С*ф можно рассматривать как усреднение от ф, во
всяком случае если ^/C=L Винерово обращение (утверждение
(а) теоремы 9.7) устанавливает, что если (К*Ч>)(х)—>0 для одной функции /Є ? L1 (R), преобразование Фурье которой нигде не обращается в нуль на вещественной оси R, то (/*ф)(#)—>0 для каждой функции /^L1 (R). Более сильное заключение, что
ГЛ. 9. ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ
239
cp(jc)—*-0, вообще говоря, неверно, но оно становится правильным при некотором довольно слабом дополнительном условии (медленная осцилляция) на ф (утверждение (Ь) теоремы 9.7). Несколько неожиданное тауберово условие—отсутствие нулей
у функции К—следующим образом возникает в доказательстве. Если (/5C * ф) (х) —> 0, то это остается верным при замене функции К ее сдвигами и, следовательно, при замене функции К любой конечной линейной комбинацией g сдвигов функции К- Если функ-ция К не имеет нулей, то множество таких функций g плотно в L1 (теорема 9.5). Это обстоятельство приводит к изучению подпространств в L1, инвариантных относительно сдвигов.
