Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 88

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 171 >> Следующая

(a) Пусть /—целая функция в С". Если о>?С" и ф (X) = f (Xw), то ф яв-г ляется целой функцией одного комплексного переменного.
(b) Если P — такой полином в С", что
J I P|dcn = 0,
то P тождественно равен 0. Указание: вычислите ^ \ P \2 don.
(c) Если P — полином (не равный нулю тождественно) и g—целая функ* ция в С", то может существовать не более одной такой целой функции /,. что Pt-S-
1J Вопрос о характере локальной особенности фундаментального решения для эллиптических операторов имеет смысл, потому что разность между двумя фундаментальными решениями служит решением однородного уравнения и, значит, является бесконечно дифференцируемой функцией. Более широкий класс-дифференциальных операторов, для которых указанный вопрос сохраняет смысл, — это класс гипоэллиптических операторов. Они характеризуются,, например, тем свойством, что каждое решение однородного уравнения (во всем пространстве или хотя бы в одной области) является бесконечно дифференцируемой функцией (но не обязательно локально аналитической, как это на самом деле имеет место для эллиптических операторов). Гипоэллип-тические операторы допускают сравнительно простое алгебраическое описание.-(см., например, [47J). Характерно, что это свойство, в отличие от эллиптичности, не определяется главной частью. Например, гипоэллиптическим яв-
ляется оператор теплопроводности —¦t^g . Для эллиптических операторов.
известно, что фундаментальное решение локально суммируемо (в начале координат); для гипоэллиптических операторов это доказано, по-видимому, только» в двумерном случае (В. П. Паламодов).—Прим. ред.
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 235
Поискать обобщения перечисленных свойств.
2. Проверить утверждение относительно выпуклой оболочки, содержащееся в последнем предложении доказательства теоремы 8.4.
3. Найти фундаментальное решение для оператора дг/дхгдх2 в R2. [Имеется 'фундаментальное решение, которое является характеристической функцией подходящего подмножества в R2,]
4. Показать, что уравнению
дги д2и _ Ox1 дх\
удовлетворяет (в смысле распределений) каждая локально интегрируемая функция и вида
U (X11 X2) = f (X1 +X2) или U (Xi, X2) = / (X1 —X2)
и что даже среди классических решений (т. е. дважды непрерывно дифференцируемых функций) не все содержатся в С°°. Это контрастирует с положением дел для уравнения Лапласа.
5. Для Jt? R3 положим / (х) = (1-f-| * I2)"1. Показать, что /^L2 (R3) и что J служит фундаментальным решением для оператора /—А в R3. Найти 7 путем прямого вычисления и при помощи следующих соображений:
(a) Так как функция f сферически симметрична (т. е. ее значение в дан-аюй точке зависит только от расстояния этой точки до начала координат), то и функция / сферически симметрична; см. упр. 1 в гл. 7.
(b) Вне начала координат имеем (/—Д)/ = 0 и /?С°°.
(c) Если F (I у I ) = f(y), то, согласно (Ь), функция F на интервале (0, оо) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко решается в явном виде.
Ответ: J(у) = (я/2)1'2 | у |-1 ехр (- \у \).
Проделать то же самое с R" вместо R3; при этом должны встретиться функции Бссселя.
6. Для 0 < Я < л и *?Rn положим
•Кк(х) = \х\-К
Показать, что
<а) Кк (у) =с (п, I) Kn-I (у) (!/6R").
где
с(„,г.>=^г("-=-х)/г(А).
Наводящие соображения. Если п < 2К < 2л, то K^ представляется в виде •суммы некоторой !Лфункции и некоторой /Афункции. Для таких Я уравнение (а) выводится из условия однородности
KK(tx) = t-*-К-к(х) (x?R«, t >0).
Случай 0 < 2Х < п получается при помощи теоремы обращения (для медленно растущих распределений). Затем предельный переход дает случай 2% — п.
Константы с (я, К) можно вычислить, исходя из равенства ^ /ф = ^ ?ф. где
-хр(д;) = ехр(-|*|2/2).
236
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
7. Взяв п^З и % = 2 в упр. 6, вывести, что —с (п, 2) Кп-2 является фундаментальным решением для оператора Лапласа А в R". Показать, в частности, что если V имеет компактный носитель в R3, то
1 г*
U(X) = —— \ \x—y\-lv(y)dy Rs
служит решением уравнения Au = v.
8. Отождествим R2 с С (полагая Z = X1-^-Ix2). Пусть
д . д t7 д , . д
Ox1 дх2 ' дхі 1 дх.
2
Показать, что преобразованием Фурье от l/z (эта функция рассматривается здесь как медленно растущее распределение) является — i/z. Показать, что этот факт эквивалентен формуле Коши — Грина
(P(z) = - J (? (W)(ч?3)(П*)). R*
Так как д log | w \ = i/w и А = дд, то вывести отсюда, что
Ф (г) = ^ (Лф) (W) log J ш — z \dm2(w) ((^g)(R2)).
R2
Таким образом, log | z \ является фундаментальным решением для оператора Лапласа в R2.
9. Используя упр. 6, показать, что
Jim [е-і-Ь-К2-в (у)] = log\у\ (</?R2), е-> О
где /; — некоторая константа. Показать, что это приводит к другому доказательству последнего утверждения из упр. 8.
\
10. Положим P (D) = D2-\-oD-\-bI (мы рассматриваем здесь случай п=1). Пусть / и g—решения уравнения P (D) U=Q, удовлетворяющие условиям
/(0)=?(0) и Г (0)—^' (0) = 1.
Определим функцию
G(X)=I /(Х)' ЄСЛИ Х<0' \ g(x), если X > 0,
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed