Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
9.2. Лемма. Пусть /^L^R"), t? R" и е > 0. Тогда существует такая функция h^L1 (R*), что WhW1 < е и
(1) h(s) = J(t)-f(s)
для всех s из некоторой окрестности точки t.
Лемма устанавливает, что функция f аппроксимируется по /Анорме функцией преобразование Фурье которой сохра-
няет постоянное значение в некоторой окрестности точки t.
Доказательство. Выберем такую функцию g?L1 (R"), что g— 1 в некоторой окрестности начала координат. При л. > О
ПОЛОЖИМ
(2) gK (X) ^eX-Xl-Xg(XlX) (i'€Rn), и пусть
(3) М*)-/(0Ы*)-(/*Ы(*).
Так как (s) = 1 в некоторой окрестности V% точки t, то (3)
означает, что (1) будет иметь место, если в качестве h взять h%* Далее,
(4) Ль (X)=^f (у) [e-»-ygK (x)-gk (х-у)] dmn (у).
Абсолютная величина выражения в квадратных скобках равна
(5) 1^(^)-^(^ (х-у))\. Поэтому, делая замену л: = Я-|, мы видим, что
(6) IlЫ. II, < JI f (у) I dmn (y)$\g(9 -ga-X-iy) I dmn (I).
R» R"
Внутренний интеграл в (6) не превосходит 2JIgU1 и стремится к 0 при к—> оо для каждого у € R". По теореме Лебега отсюда следует, что UIii—1>O при 1K—*оо.Ц
240
часть 2. распределения и преобразование фурье
9.3. Теорема. Пусть cp^L°°(R") и Y—некоторое подпространство в L1 (R"). Если
(1) /«Cp = O для всех fGY, то множество
(2) Z(K)= П {s€R»: f(s) = 0\
содержит носитель (медленно растущего) распределения ср.
Доказательство. Фиксируем некоторую точку t из дополнения к Z(Y). Тогда j(t)=\ для подходящей функции /6 К. По лемме 9.2 найдется такая функция /г^L1 (R"), что Wh[I1 < 1 и h(s)=l—f(s) в некоторой окрестности Уточки t.
Для доказательства теоремы достаточно проверить, что ср = 0 в V, а это эквивалентно тому, что ср(ф) = 0 для каждой функции грЄсТ'и, преобразование Фурье которой ф сосредоточено (т. е. имеет носитель, содержащийся) в V. Так как
(3) Ф(Ф) = Ф(Ф) = (Ф*Ф)(0),
то достаточно показать, что ср»гр = 0.
Фиксируем некоторое гр с указанным свойством. Положим So = ^h gm = h*gm_1 при т>1. Тогда ||gm H1 < || h \\?\\ гр U11 и так как ||/г||ї< 1, то функция 0 = ^gm содержится в L1 (R"). Поскольку fi (s)=l — J (s) на носителе функции гр, то
(1) (1-Й (s)) г)(s) = гр (s) f(s) (s G R"),
или
(5) г}= 2 h-xff = Gj.
те= О
Таким образом, \p = G*/ и из (1) вытекает, что
(6) гр*ф = б*/*ф = 0. Щ
9.4. Теорема Винера. Если Y—замкнутое подпространство в D(R"), инвариантное относительно сдвигов, и если множество Z (Y) общих нулей преобразований Фурье функций из Y пусто, то Y = D(R").
Доказательство. Инвариантность подпространства Y относительно сдвигов означает, что tJ G Y, если f GY и х 6 R'2.
Если функция (PGD(R") такова, что ^/<р = 0 для каждой/ G Y,
то ввиду указанной инвариантности Y мы имеем /*ср = 0 для всех f?Y. Поэтому, согласно теореме 9.3, носитель распределения ф пуст и, следовательно ср = 0 (теорема 6.24). Поскольку преобразование Фурье взаимно однозначно отображает &'п на
ГЛ. 9. ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ
241
себя (теорема 7.13), отсюда вытекает, что в качестве распределения ф = 0. Но тогда ф представляет собой и нулевой элемент пространства L00 (R").
Таким образом, YL = {0\. Согласно теореме Хана — Банаха, это означает, что Y = L1 (R'1). Щ
9.5. Теорема. Пусть KZIJ-(R'1) и Y — наименьшее замкнутое инвариантное относительно сдвигов подпространство в U (R"), содержащее К- Тогда У = L1 (R") в том и только в том случае, если К(і)фО при всех t?Rn.
Доказательство. Заметим, что Z (Y) = \lZRn- K(t) = 0\. Таким образом, в теореме утверждается, что Y = L1^(R") в том и только в том случае, если Z(Y) пусто. Но в одну сторону это вытекает из теоремы 9.4, а в другую—тривиально.
9.6. Определение. Функция <pZL°°(Rn) называется медленно осциллирующей, если для каждого е > 0 найдутся такое А < со и такое 6 > 0, что
(1) \<р(х) — (р(у)\<ь, если \х\> А, \у\> А, \х—у\<б.
При я = 1 можно также определить свойство медленной осцилляции на -j-oo; условие (1) заменяется при этом условием
(2) |ф(*) —Ф(#)|<е, если X > А, у > А, I х—у |< б.
Конечно, аналогичное определение можно дать и для —оо.
Отметим, что каждая равномерно непрерывная ограниченная функция является медленно осциллирующей и что, с другой стороны, медленно осциллирующая функция не обязательно непрерывна.
Теперь мы подошли к тауберовой теореме Винера. Утверждение (Ь) было добавлено Питтом.
9.7. Теорема, (а) Пусть <vZL°°(Rn), КZL1 (R"), K(t)=?0 при всех t Z R" и
(1) Hm (К*ч>)(х) = аК(0).
\Х 1-»¦SO
Тогда
(2) lim (/*ф)(*) = а/(0)
I X
для всех fZL1(Rn).
(Ъ) Если, кроме того, функция ф является медленно осциллирующей, то
(3) Hm ц>(х) = а.
I ЛГ|->-х
Доказательство. Положим ф(х) = ф(х) —а. Пусть Y — множество всех таких /6 L1 (R"), для которых
(4) " Hm (/* (Jf) = O.
242 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Ясно, что Y есть векторное пространство. Далее, подпространство Y замкнуто в Z^(R"). Действительно, предположим, что ffGY и JIZ-Z1-II1-^O. Так как
(5) Il»1>l|. II*IU,
то /,¦»Ip—>/*яр равномерно на R" и, следовательно, соотношение (4) выполняется для предельной функции. Так как
(6) ((Tj) * ip) (X) = (T1, (/ * гр)) (X) = (/ * яр) (х-у),
