Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
OO
(6) logC(s) = 2 S m-lp'ma (о> 1).
р т — 1
Фиксируем некоторое вещественное ІФО. Если а > 1, то, как это-следует из формулы (6),
(7) log I ?3 (а) (о + it) С (а + 2U) I =
= 2т-1р-'"а Re{3 + 4p-'m'+p-2I'm'} >0,
р,т
поскольку Re{3 + 4e/0 + e2t"e} = 2(l +cosЄ)2 для всех вещественных 0. Поэтому
(8) 1(^-1)^0)^^1^1^(0 + 2^)1^^.
Если бы ?(1+/0 равнялось 0, то при о, убывающем к 1,. левая часть неравенства (8) стремилась бы к конечному пределу, а именно к I ?'(1 +M)I4I ?0 + 2*01- Но правая часть при этом: стремится к бесконечности. Полученное противоречие означает,, что (4) имеет место.
9.12. Тауберова теорема Ингама. Пусть g—вещественная неубывающая функция на полуоси (О, оо), причем ^(л:) = 0, если. X < 1. Положим
QO
(О G(X) = Hg(^) (0<х<оо)
п— 1
и допустим, что
(2) G (x) = axlogx-{-bx-T-XE (х),
246 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
где а и Ь—константы, а е(х)—>O при х—>оо. Тогда (3) lim x~1g{x) = a.
х-* да
В качестве функции g в теореме Ингама можно взять функцию л\> из п. 9.10—условия теоремы будут соблюдены в силу формул (3) и (5) н. 9.10. Тогда из теоремы 9.12 вытекает, что функция удовлетворяет соотношению (6) из п. 9.10, что, как мы видели, приводит к теореме о распределении простых чисел.
Доказательство. Сначала мы покажем, что x~*g(x) огра-личепо. Так как функция g не убывает, то
8 WS (1) <g<-0-+1 g (?) = О (x)-2G (I) = = х jalog2 + e(х)—є (-0J- < Ах, где А — некоторая константа. Поскольку
g(x)=g(x)—g (%)+g(-j)— g (т)+ •••» то отсюда следует, что
-(4) g(x)< а(х + -% + % + ...) = 2Лх.
Теперь мы сделаем замену переменных, которая позволит обычным способом использовать преобразование Фурье. Для —оо < х < < оо положим
(5) h (x) = g(ex), H(X)= S ft (JC-log л).
Тогда h(x) = 0, если х<0, и H (х) = G (ех). Поэтому (2) превращается в равенство
(6) H (X)= ех (ах+ 0 + E1 (X)), где E1(A')—>O при X—>co. Если
(7) ф (jc)=S е~ xh(x) (—oo<jc<co),
то, согласно (4), функция ф ограничена. Мы должны доказать что
(8) lim ср(х) = а.
Х-У СО
Пусть k(x) = [ex]e~x, и пусть А,—некоторое положительное иррациональное число. Положим
Щ K(x) = 2k(x)—k(x—\)—k(x—x) (— оо <х< со).
Тогда К € L1 (—со, со) (более того, функция ехК (х) является ограниченной, см. упр. 8). Если S = о -{-it, о > 0, то из формулы
ГЛ. 9. ТАУ Б ЕРОВ Ы ТЕОРЕМЫ 247
(2) п. 9.11 вытекает, что
со со 00
j k (x)e~xsdx = ^ [ех] e-x(s+Vdx = §[y]y-*-sdy= g .
-со 0 1
Повторим процедуру, заменяя k(x) на k(x—1) и k(x—А), используем (9) и затем положим о—»-0. В результате получится
со
(10) ^К(х)е-Ихах = {2—е-*—е-™)Щ^р.
— 00
Так как ? (1 + И)ФО и так как Я иррационально, то R(t)=?0,. если іфО. Так как функция ? имеет простой полюс с вычетом 1 при s = l, то правая часть равенства (10) стремится к l-f-Я при t —0. Таким образом, R (0) Ф 0.
Теперь мы хотим оценить /С*ср, чтобы затем применить теорему Винера. Положим и(х) = [ех], пусть v—характеристическая функция множества [0, ос), и пусть и.—мера, сопоставляющая массу 1 каждой точке множества {log/г: п = 1, 2, 3, ...} и сосредоточенная на этом множестве. В соответствии с (5) имеем H=h*\L* Далее, u = v*\i. Поэтому
X
(11) (hm) (х) = (h*v*\i) (х) = (Hw) (х) = \н (у) dy.
о
[Заметим, что здесь мы используем свертку по отношению к мере Лебега, а не к нормированной мерс mv] Так как
со
(ф*6) (х) = 5 ey~xh (х—у) И е-» dy = е~х (hm) (х),
— 00
то из (6) и (11) вытекает, что
X
(12) (ф*&) (х) = е~х J H (у) dy = ах b—а -т- Е2(х),
о
где г2(х)—>0 при X—>оо. Из (12) и (9) следует, что
со
(13) lim (K*4>)(x) = (l+K)a=a[K(y)dy. Поэтому в силу теоремы Винера 9.7 (см. замечание 9.8)
00
(14) Hm (M)(X) = a J f(y)dy
X-*- 00
для каждой функции /6^(—оо, оо).
Пусть Z1 и /2—две неотрицательные функции с интегралом 1 и с носителями соответственно в [0, е] и [—е, 0]. Согласно фор*
248
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
муле (7), функция ех(р (х) является неубывающей. Поэтому ф (у) ^ ^ееф (х), если X—в =<Су х, и ф (у) ^е~гц> (х), если X ^у^.х-\-е. Следовательно,
(15) е~р (/^Ф) (X) < ф (х)< еє (/>Ф) (х).
Из (14) и (15) вытекает, что верхний и нижний пределы ф(х) при X—>oo лежат между ае~е и аее. Поскольку е>0 произвольно, соотношение (8) выполняется, и доказательство закончено. Щ
Уравнение восстановления
В качестве еще одного применения теоремы Винера мы бегло обсудим поведение ограниченных решений ф интегрального уравнения
OO
ф(х)— J q>(x — t)d\L(t) = f(x),
— со
которое встречается в теории вероятностей. Здесь [і — заданная вероятностная борелевская мера, f—заданная функция, а ф предполагается ограниченной борелевской функцией, так что интеграл существует при всех x?R. Кратко это уравнение можно переписать в виде
ф — ф*Ц. = f.
Мы начнем с теоремы единственности.
9.13. Теорема. Если ц—вероятностная борелевская мера на вещественной оси R, причем носитель этой меры не содержится ни в какой циклической подгруппе группы R, и если ф—ограниченная борелевская функция, удовлетворяющая однородному уравнению
{I) ф(х) — (ф*ц)(х) = 0
для каждого х? R, то существует такая константа А, что почти ¦всюду в смысле меры Лебега ф (х) — А.
