Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 86

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 171 >> Следующая

ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 229
(b) Если —сю < t < оо, то отображение и—*v, задаваемое •формулой
НУ) = (1+\у\2У/ги(у) (y€RB),
является линейной изометрией пространства Hs на пространство Hs~l и, следовательно, есть оператор порядка і, обратный к которому имеет порядок —і.
(c) Если Ъ 6 L^(R"), то отобраоюение u~+v, задаваемое равенством v = bu, есть оператор порядка 0.
(d) Для каждого мультииндекса а оператор Оа имеет порядок \а\.
(с) Если Jfn, то и—yfu есть оператор порядка 0.
Доказательство. Если распределение и?&>' (R") имеет "компактный носитель, то, согласно утверждению (а) теоремы 7.23,
(1) \и(у)\<С(\+\у\)" (у?К")
для некоторых констант CwN. Поэтому и если s<— N—п/2. Этим установлено утверждение (а). Утверждения (Ь) и (с) очевидны. Из соотношения
I (Da и)~у\ = \у*\\й (у)\^(1+\у\*Уа»*\и(у)\
вытекает
(2) ||Ахи||,_,а|<|[и||в,
так что (d) тоже выполнено.
Доказательство утверждения (е) опирается на неравенство
(3) (1 + \х + у \У < 2 i*i (I +1X |2Г (H-1УIT',
справедливое при всех х6 R", y?Rn и —oo<s<oo. Случай S=I в (3) очевиден. Заменой х на х-\-у и у на —у из него получается случай S== — 1. Общий случай неравенства (3) получается .из этих двух возведением в степень |s|. Из неравенства (3) вытекает, что
(4) J |А(*-у)|М|г,<2і*і(1-Ну|я)т J |Л|«ф,
для любой измеримой функции h на R".
Пусть теперь u?Hs, f€<?fn и * > |s|-f-/i/2. Так как J^Jfn, то 11/1If^00- Положим Y = (^ui-f(R")- Тогда у < оо. Рассмотрим функцию F=\u\*\f\. По теореме 7.19,
(5) К/и)л| = 1и*?1<|и|»|Л = ^
В силу неравенства Шварца
(6) IF(X) I2< J I f(y)I2Ci1It (y)\\U (х—у)I2dii_t (у)
R" R"
230
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
для каждого л: (E R"- Проинтегрируем неравенство (6) по всему пространству R" относительно меры \is. Согласно (4), в результате получится неравенство
(7) J [ЛвФ,<2'я'у||/И?1МВ.
Из неравенств (5) и (7) вытекает, что
(8) Il [и И, < (21"т) »/»|]/|И1 "II,. Тем самым доказано утверждение (е). Ц
8.10. Определение. Пусть Q—открытое множество в R". Говорят, что распределение и € S)' (Q) локально принадлежит к Hsr если каждой точке х ? Q соответствует такое распределение v ? Hs* что u = v в некоторой окрестности СО точки я. (См. п. 6.19.)
8.11. Теорема. Если и G S)' (Q) и — оо < s < оо, то следующие утверждения эквивалентны:
(a) распределение и локально принадлежит к Hs\
(b) фи?Я* для каждого ф (E S) (Q).
Кроме того, если s—неотрицательное целое число, то утверждения (а) и (S) эквивалентны следующему:
(c) Da и локально принадлежит к L1 при каждом а, таком* что I a I ^ s.
Утверждение (Ь), быть может, требует некоторых пояснений,, поскольку функционал и действует только на пробные функции. с носителями в Q. Однако фи—функционал, сопоставляющий, функции ф G S) (R") число
(Ф")(ф) = и(фф). а так как фф (E S) (Q), то и (фф) определено.
Доказательство. Предположим, что и локально принадлежит к Hs. Пусть К—носитель некоторой функции ф G S)(Q)* Так как К—компакт, то найдется конечное семейство открытых множеств co/dQ, объединение которых покрывает К, причем на <of распределение и совпадает с некоторым vt ? Hs. Существуют такие-функции tyiGS)(Gi1), что ^ірі=1 на /<". Если ц>(ES)(R"), то> Ф/Фф € S) ((O1-) и, следовательно,
и (фф) = 2 и (МФ) = S Vi 0М>Ф).
Таким образом, фи = 21MWi« Согласно утверждению (е) теоремы 8.9, имеем ф/фг>,-€//* ПРИ каждом і. Поэтому фи ? Hs. Это* означает, что из условия (а) вытекает (Ь).
Если условие (Ь) выполняется, X ? R" и если функция ф€ S)(Q) равна 1 в некоторой окрестности со точки х, то и = фи в со и, по* предположению, фи G Hs, Таким образом, из (Ь) вытекает (а).
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 231
Предположим снова, что выполняется условие (Ь). Если -яр(ES)(Q), то tyu?Hs, и поэтому Ax (фи) ?#s-la| в СИЛу утверждения (d) теоремы 8.9. Если |a|^s, то
Hs-\*\czH0 = L*(Rn).
Таким образом, Ac (tyu) ? L2 (R"). Предполагая, что ф=1 в некоторой окрестности точки x?Q, мы видим, что Da1U локально принадлежит к L2 в Q. Поэтому из (Ь) вытекает (с).
Предположим, наконец, что Dau локально принадлежит к La для каждого мультииндекса а, такого, что |a|<ls. Выберем ij) ? S) (Q). Из формулы Лейбница ясно, что Da (tyu) ? L2 (R"), если I a I ^ s. Поэтому
(D S \Уа\2\тЧУ)\2атп(у)<оо (|a|<s).
R"
Если s—неотрицательное целое число, то неравенство (1), в частности, будет выполняться, когда в качестве if- берутся мономы У\, ---,Уа- Как и при доказательстве теоремы 7.25, отсюда вытекает, что
<2) $ (1 + \у \*У I (фиГ (У) I2 dmn (у) < оо.
R"
Таким образом, tyu ? Hs, т. е. из (с) вытекает (Ь), и доказательство закончено. Щ
8.12. Теорема. Предположим, что Q—открытое множество ¦в R" и
(a) L = 2/ccDa—линейный эллиптический дифференциальный оператор в Q порядка iV>l с коэффициентами fa G С°° (Q)1
(b) коэффициенты /а, где \a\ = N, постоянны,
(c) и и v—распределения в Q, связанные соотношением
•(1) Lu—v,
причем V локально принадлежит к Hs. Тогда и локально принадлежит к Hs+N.
Следствие. Если оператор L удовлетворяет условиям (а) и ¦(b) и если vGC°° (Q), то каждое решение и уравнения (1) принадлежит C°°(Q). В частности, каждое решение однородного уравнения Lu = O содержится в С°° (Q).
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed