Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что T ?33(A), T1GA и T1—*Т в топологии пространства ЗВ (А). Если T1 есть оператор умножения слева на элемент X1G А, то
(4) T1 (у) = х[У = (X1C) у = T1 (е) у (у G Л).
При і—*оо первый член в (4) стремится к T (у), а Т;(е)—>Т (е). Так как умножение в А предполагается непрерывным слева, то отсюда следует, что последний член в (4) стремится к T (е) у. Положим X = T (е). Тогда
(5) T (у) = T (е) у = ху = Mx (у) (у G А),
так что T = Mx G А и, следовательно, Л замкнуто в 33(A)1). Щ
10.3. Примеры, (а) Пусть C(K)—банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на непустом компактном ха-
1J Теорема 10.2, в частности, означает, что в банаховой ситуации из раздельной непрерывности умножения (т. е. из непрерывности слева и справа) вытекает непрерывность по совокупности сомножителей: достаточно заменить норму на эквивалентную в соответствии с теоремой 10.2, а затем, как отмечалось, воспользоваться тождеством (9) и условием (4) п. 10.1. К этому можно добавить следующее. Если в нормированной алгебре умножение непрерывно по совокупности сомножителей, то ее пополнение обладает естественной структурой банаховой алгебры (что легко проверяется). С другой стороны, рассмотрим алгебру финитных последовательностей X = (X1, хп, 0, ...)
со
с покоординатными алгебраическими операциями и нормой Ц х \\=;^k~2 \ Xf11.
i
Легко убедиться, что умножение здесь непрерывно слева и справа (алгебра коммутативна), но не по совокупности сомножителей. Формальное присоединение единицы в соответствии с н. 10.1 ничего не меняет. — Прим. ред.
9 №871
258 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
усдорфовом пространстве К, наделенное sup-нормой. Определим умножение обычным способом, а именно (fg) (р) = f (p)g(p)- Тем самым С (К) становится коммутативной банаховой алгеброй, единичным элементом которой служит функция, тождественно равная 1.
Если К—конечное множество, состоящее, скажем, из п элементов, то С (/<) есть просто С" с покоординатным умножением.
В частности, при п = 1 мы получаем самую простую банахову алгебру: С с абсолютной величиной (модулем) в качестве нормы.
(b) Пусть X—банахово пространство. Тогда Sd(X)—алгебра всех ограниченных линейных операторов на X — является банаховой алгеброй относительно обычной операторной нормы. Тождественный оператор / служит единицей этой алгебры. Если dim X= — її < оо, то алгебра 35{X) совпадает (изоморфна) с алгеброй всех квадратных матриц порядка п. Если dimX> 1, то алгебра 95 (X) не коммутативна. [Тривиальный случай Х = {0} должен быть исключен.]
Любая замкнутая подалгебра в 95 (X), содержащая оператор I, также является банаховой алгеброй. Доказательство теоремы 10.2 показывает, что на самом деле каокдая банахова алгебра изоморфна некоторой такой алгебре.
(c) Если К—непустое компактное множество в С или С" и если А — подалгебра в С {К), состоящая из тех функций / (E С (/С), которые голоморфны во внутренних точках компакта К, то А полна (относительно sup-нормы) и, следовательно, является банаховой алгеброй.
Если к—замкнутый единичный диск в С, то Л называется диск-алгеброй.
(d) Пространство L1 (R'1) со сверткой в качестве умножения удовлетворяет всем требованиям определения 10.1, за исключением того, что ему недостает единицы. Единицу можно присоединить при помощи абстрактной процедуры, описанной в п. 10.1, или это можно сделать более конкретно, расширяя алгебру IJ (R") до алгебры всех комплексных борелевских мер и, на R", имеющих вид
d\x = fdmn-\-Xd8,
где /^L1 (R"), 6 — мера Дирака па R" и 1K—произвольный скаляр.
(e) Пусть M (R") — алгебра всех комплексных борелевских мер на R" со сверткой (см. п. 9.14) в качестве умножения и с полной вариацией в качестве нормы. Тогда M (R") является коммутативной банаховой алгеброй с единицей б и содержит алгебру, описанную в (d), которая является ее замкнутой подалгеброй.
10.4. Замечания. Существует ряд соображений, по которым мы занимаемся банаховыми алгебрами над полем комплексных чисел, хотя вещественные банаховы алгебры (определение которых очевидно) также изучаются.
ГЛ. 10 БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
259
Одно из них заключается в том, что некоторые элементарные факты о голоморфных функциях играют важную роль при построении основ теории. Это видно на примере теорем 10.9 и 10.13 и особенно проясняется в функциональном исчислении.
Другое соображение, далеко не столь очевидное, состоит в том,, что поле С комплексных чисел обладает естественной нетривиальной инволюцией (см. определение 11.14), а именно комплексным сопряжением, и что многие из наиболее глубоких свойств банаховых алгебр специального типа объясняются наличием подобной инволюции. [По той же причине теория комплексных гильбертовых пространств богаче, чем вещественных.]
С некоторой точки зрения (теорема 10.44), даже топологическое различие между полями ChR играет определенную роль.
Одним из наиболее важных типов отображений одной банаховой алгебры в другую служат гомоморфизмы. Линейное отображение h называется гомоморфизмом, если оно мультипликативно, т. е.
