Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 87

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 171 >> Следующая

В самом деле, если v (jj С°° (Q), то \\>v?S)(Rn) для каждого яр ? S) (Q). Поэтому V локально принадлежит к Hs при каждом s. В теореме утверждается, что тогда и локально принадлежит к Hs при каждом s. Согласно теоремам 8.11 и 7.25, отсюда следует, что w?C~(Q).
Условие (Ь) теоремы может быть опущено, однако его выполнение существенно упрощает доказательство.
232
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Доказ ательство. Фиксируем точку х ? Q и рассмотрим замкнутый шар B0CZU с центром в точке х. Пусть функция Ф0 (E S (Q) равняется 1 на некотором открытом множестве, содержащем B0. Согласно утверждению (а) теоремы 8.9, имеем ф0ы ? H1 при некотором /. При убывании t пространство H1 расширяется, и поэтому мы можем считать, что t = s + N—k, где k — положительное целое число. Выберем замкнутые шары
B0 ZdB1 zd ... zd Bk
с центрами в точке х, каждый из которых лежит строго внутри предыдущего. Выберем такие функции ф1, ..., фА (E S (Q), что ф,-=1 на некотором открытом множестве, содержащем B1, и ф, = 0 вне B1^1. Так как у0и (E H1, то ввиду следующего ниже «вспомогательного» предложения мы будем иметь
Ф^ЄЯ'+1, .... <pku?Hl+*.
Это позволяет сделать вывод, что и локально принадлежит к Hs+N, поскольку t + ? = s + N и фА=1 на шаре Вк.
Предложение. Если в дополнение к условиям теоремы 8.12 имеем \\tii Z H1 для некоторого /^s + N — 1 и некоторой функции \\)?eD(Q), равной I на открытом множестве, содержащем носитель функции cp?S)(Q), то ф« ? Hi+1.
Доказательство. Мы покажем сначала, что
(2) L(^u)Z Н1~^+К Рассмотрим распределение
(3) Л = ?(ф«) — q>Lu = L(q>u)— Фі>.
Так как носитель этого распределения содержится в носителе ф, то в (3) можно, не изменяя Л, заменить и на ip«. Другими словами,
(4) A = L[^u) — ф?(фи)= 2 fa-[Da(<v$u) — q>Da{#u)].
Из формулы Лейбница в применении к Da(<p-y\m) видно, что производные порядка N от фи взаимно уничтожаются в (4). Следовательно, распределение Л представляется в виде линейной комбинации (с коэффициентами из S (R")) производных порядка не выше N — I от tyu. Так как $и ? 4і, то, согласно утверждениям (d) и (е) теоремы 8.9, Л (E Я'_Л+1. По теореме 8.11 имеем (pv?Hs, а так как t — TV + 1^s, то Є Hl~N+l. Поэтому включение (2) является следствием соотношения (3).
Поскольку оператор L эллиптический, его характеристический полином
(5) P(У) - S ї«Уа (у?*п)
i a I=N
Г Л 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
233
не имеет нулей нигде в R", за исключением точки */ = 0. Рассмотрим функции
<6) q{y) = \y\-Np{y), г(у) = (\+\уПд(у)
при уGRn, уфО, и определим операторы Q, R, 5 на объединении пространств Соболева, полагая
(7) (Qw) = qw, (Rw) =rw
и
i a і < N
Так как р является однородным полипомом степени N, то Q(^y)-Q(У) ПРИ ^ > 0- Далее, так как полином р обращается в нуль тоїько в начале координат, то ввиду компактности единичной сферы пространства R" обе функции q и l/q оказываются ¦ограниченными. Поэтому из утверждения (с) теоремы 8.9 вытекает, что оба оператора QwQ-1 являются операторами порядна 0.
Функции
Ъ+\У 12)-Л72(1 +1У П и [(1 4-1у |2)-л''2(1 +1 у Г)]"1
также обе ограничены на R". Поэтому из результатов предыдущего пункта в сочетании с утверждениями (Ь) и (с) теоремы 8.9 вытекает, что оператор R имеет порядок N, а обратный к нему оператор R'1 имеет порядок —N.
Поскольку яр/а G (R"). из утверждений (d) и (е) теоремы 8.9 .вытекает, что оператор S имеет порядок N — 1.
Так как р = г—q и так как по предположению полином р имеет постоянные коэффициенты fa, то
<9) ( 2 f*Dawy = pw = (r — q)w = (Rw— Qwf,
\a\=N
если w принадлежит некоторому пространству Соболева. Поэтому (10) (R-Q +S) (<pu) = L (<ры).
Согласно (2), имеем L (ери) G Hf~N+l.
Так как \ри?Н* и ерф — ср, то ф« = ффи?//' в силу утверждения (е) теоремы 8.9. Поэтому
<П) (Q-S)(q>u)€tf*-"+1,
ибо оператор Q имеет порядок 0, а оператор S — порядок N—1 ^ 0. Из (10) теперь вытекает, что
(12) • R(CpU)GH^+1,
и так как оператор ^-1 имеет порядок —N, то мы получаем окончательно, что сри?Ні+1.
8.13. Пример. Пусть L—эллиптический дифференциальный оператор в R" с постоянными коэффициентами и E—фундамен-
234
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
тальное решение для оператора L. В области, дополнительной к началу координат, уравнение LE = 6 сводится к уравнению1 LE = O. Согласно теореме 8.12, вне начала координат E является бесконечно дифференцируемой функцией. Характер особенности функции E в начале координат зависит, конечно, от оператора L1).
8.14. Пример. Начало координат в R2 служит единственным нулем полинома р (у) = Уі~т-іу2. Если Q—открытое множество BR2H распределение и ? (Q) служит (обобщенным) решением, уравнения Коши—Римана
то, по теореме 8.12, и €С°° (Q). Отсюда следует, что и является голоморфной функцией по z = xt-\- іх2 в Q. Другими словами,. каждое голоморфное распределение является голоморфной функцией.
Упражнения
1. Следующие простые свойства голоморфных функций нескольких переменных использовались в данной главе без всяких оговорок. Проверить, что они действительно имеют место.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed