Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(12) I ф (0) I < Ar-"Il P (D) ф у (ф 6 S) (R")).
Пусть Y—подпространство в S)(R"), состоящее из функций вида P(D)(p, (P^S)(R"). Согласно (12), теорема Хана — Банаха 3.3 показывает, что линейный функционал на Y, определенный равенством P(D)(р—>ф (0), расширяется до линейного функционала и на S)(R"), удовлетворяющего условию (10) и условию
(13) I и (гр) |< Аг-"\\ ф Il (ф € S) (R")). Последнее, согласно (3), означает, что и? S)' (R"). |
Эллиптические уравнения
8.6. Введение. Пусть и—дважды непрерывно дифференцируемая функция на некотором открытом множестве QcR2, удовлетворяющая уравнению Лапласа
Очень хорошо известно, что тогда функция и на самом деле принадлежит C°° (Q) хотя бы потому, что каждая вещественная гармоническая функция в Q является (по крайней мере локально) вещественной частью некоторой голоморфной функции. Теоремы такого типа, в которых устанавливается, что каждое решение некоторого дифференциального уравнения обладает большей гладкостью, чем это ясно заранее, называются теоремами регулярности.
гл. 8. приложения К дифференциальным уравнениям 227
Мы дадим доказательство довольно общей теоремы регулярности для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Термин «эллиптический» будет вскоре определен. Прежде всего, вероятно, интересно отметить, что уравнение
<2) ЩГ°
ведет себя совершенно иначе, чем уравнение (1), поскольку ему удовлетворяет любая функция и вида и(х, у) = f (у), где /—произвольная дифференцируемая функция. Более того, если уравнение (2) интерпретировать как
ду \ дх
то в качестве / можно взять совершенно произвольную функцию,
8.7. Определения. Пусть Q—открытое множество в R", N— положительное целое число, fa G С™ (Q) для каждого мультиин-декса а, такого, что |a|^Af, причем хотя бы одна из функций fa с I a I = N не обращается в 0 тождественно. Перечисленные данные позволяют определить линейный дифференциальный оператор
(1) L= S faDat
|ct|<W
который на распределение и ? (Q) действует по правилу
(2) Lu = 2 АхАхИ.
Число N называется порядком оператора L. Оператор
(3) S /«А*
называется главной частью оператора L. Характеристическим полиномом оператора L называется функция
(4) Р(х, у)= 2 fa (X)i? (xSQey€R").
|a|=W
Эта функция является однородным полиномом степени N по переменным y=(ylt ...,//„) с коэффициентами из C^(Q).
Говорят, что оператор L эллиптический, если р (х, у)Ф0 при всех л; € Q и всех #6R", за исключением, конечно, точки у = О* Заметим, что эллиптичность определяется в терминах главной части оператора L; члены более низкого порядка, фигурирующие в представлении (1), роли не играют.
Например, характеристическим полиномом оператора Лапласа
(5)
228
часть 2 распределения и преобразование фурье
служит р (х, у) = — • ¦ • + Уп)і так что А — эллиптический оператор.
С другой стороны, если L = O2IdX1Ox2, то р (х, у) —— угу2, и L эллиптическим не является.
В формулировке основного результата, на который мы нацелены (теорема 8.12), фигурируют некоторые специальные пространства медленно растущих распределений, и мы начнем с их описания.
8.8. Пространства Соболева. Сопоставим каждому вещественному числу s положительную меру inj на Rn, полагая
(1) diis(y) = (l+\y\2Ydmn(y).
Если / GL2 (щ), т. е. если J |/ |3ф,5 < оо, то f является медленно растущим распределением (пример (с) в п. 7.12). Поэтому f служит преобразованием Фурье некоторого медленно растущего распределения и. Векторное пространство всех таких распределений и обозначается через Hs. Наделенное нормой
(2) Il и 11,-( S 1"124Ь
пространство Hs, очевидно, изометрически изоморфно пространству L2(\is).
Эти пространства Hs называются пространствами Соболева. Размерность п не указана в обозначении, поскольку она всюду в дальнейшем будет оставаться одной и той же.
По теореме Планшереля, W = L2.
Очевидно, что H3CzW, если t < s. Объединение X всех пространств IIs есть, следовательно, векторное пространство. Говорят, что линейный оператор Л: X —> X имеет порядок t, если его сужение на каждое из Hs осуществляет непрерывное отображение этого подпространства Hs в Hs~l. Заметим, что число t здесь не обязательно целое1).
В следующей теореме описаны свойства пространств Соболева, которые будут использоваться.
8.9. Теорема, (а) Каждое распределение с компактным носителем принадлежит некоторому пространству Hs.
1J В данном здесь определении порядка оператора надо сделать дополнительное ударение на слове «имеет», так как по формальному смыслу этого определения, с одной стороны,'существуют операторы, не имеющие порядка, а с другой — одному и тому же оператору (например, нулевому) можно, вообще говоря, соотносить различные числа в качестве порядка. Быть может, удобнее называть операторы, подчиненные указанному условию, имеющими порядок не выше t, а затем порядком оператора назвать нижнюю грань допустимых t (хотя при этом все еще остается «тонкий» вопрос о достижимости). Впрочем, читатель не должен встретить в дальнейшем затруднений, если по ходу дела продумает выражения типа «оператор имеет порядок 0».— Прим. ред.
