Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
h(xy) = h(x)h(y).
Особый интерес представляет тот случай, когда образом относительно h служит простейшая из банаховых алгебр—поле С. Большинство продвижений в коммутативной ситуации решающим образом зависит от наличия достаточно богатого запаса гомоморфизмов данной алгебры в поле С.
Комплексные гомоморфизмы
10.5. Определение. Пусть А — комплексная алгебра и ф — линейный функционал на А, не равный 0 тождественно. Если
(1) <P(xy) = q>{x)q>(y)
для всех X Z А и у Z А, то функционал ф называется комплексным гомоморфизмом на алгебре А.
[Исключение функционала ф = 0 сделано только ради удобства.] Элемент X ? А называется обратимым, если он обладает обратным в А, т.е. если существует такой элемент х~г Z А, что
(2) х~гх = хх~у = е,
где е—единичный элемент алгебры А.
Заметим, что никакой элемент х ? А не может иметь более одного обратного, ибо если ух = e = xz, то
y = ye=-y(xz) = (yx)z = ez = z.
10.6. Предложение. Если ф—комплексный гомоморфизм на комплексной алгебре А с единицей е, то ц>(е)=1 и <р(х) Ф 0 для каждого обратимого элемента х Z А.
9*
260
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Доказательство. Для некоторого у€А имеем ф(у)ф0. Так как
ф(#)=ф(#е) = ф(#)ф(е). то отсюда следует, что ср(е)=\. Если элемент х обратим, то
Ф (х) ф (X'1) = ф (XX'1) = ф (е) = 1,
так что ф (х) Ф0. Щ
Утверждения (а) и (с) следующей ниже теоремы представляют собой, по-видимому, наиболее широко используемые факты теории банаховых алгебр. В частности, из (с) вытекает, что все комплексные гомоморфизмы банаховой алгебры непрерывны.
10.7. Теорема. Пусть А—банахова алгебра, х?А и ||х||< 1. Тогда
(a) элемент е—х обратим,
(b) \\ (е-х)^-е-X]K1^1,
(c) І ф (х) I < 1 для каждого комплексного гомоморфизма ф на А.
Доказательство. Так как || хп || ^ || х ||" и ||л;||<1, то элементы
(1) sn = e-\-x + x*-\-...+xn
образуют в А последовательность Коши. Поскольку алгебра А полна, найдется такой элемент s (E А, что Sn—> s. Так как хп—>O и
(2) sn-(e—x) = e—x"+1 = (e—x)-sn,
то из непрерывности умножения вытекает, что элемент s является обратным к (е—х). Далее, из (1) вытекает, что
со
И s-е-Xц = I! *s+*3 +... ||< X Il * I!" = t=w '
Наконец, предположим, что Х?С и \Х\^\. Согласно утверждению (а), элемент е—X-1X обратим. Следовательно, в силу предложения 10.6,
1 — Х~Чр (х) = ф (C-X-1X) Ф 0.
Поэтому ф (х) Ф X. Щ
Теперь мы несколько отступим от основной линии изложения, чтобы остановиться на одной теореме, которая показывает, что для банаховых алгебр предложение 10.6 на самом деле полностью характеризует комплексные гомоморфизмы среди всех линейных функционалов. Этот впечатляющий результат, по-видимому, еще ждут интересные применения.
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ 261
10.8. Лемма. Пусть f—целая функция одного комплексного ,переменного, причем f (0) = 1, f (0) = 0 и
(1) 0<|/(X)|<eiM (X € С).
Тогда f (X) = I для всех X ? С.
Доказательство. Так как функция / не имеет нулей, то найдется такая целая функция g, что / = exp{g}, ?(0) = = g' (0) = 0 и Re [g (X)] ^ IX \. Из последнего неравенства вытекает, что
<2) 2r-?(A.)| (|Х|<г).
Функция
(3) hr№ = X* [2r—g (X)J
является голоморфной в диске \Х: \Х\<2г\ и | A1. (X)Kl, если Х| = г. Согласно теореме о максимуме модуля,
<4) |ArW|<l (\Ц<г).
Фиксируем X, и пусть г—>oo. Тогда из (3) и (4) получается, что g (X) = O. Ц
10.9. Теорема (Глисон, Кахан, Желязко). Если ф—такой линейный функционал на банаховой алгебре А, что ф(<?)=1 и .<р (X)^O для каждого обратимого элемента х ? А, то
(1) ф (ху) = ф (х) ф (у) (X € А, у?А).
Заметим, что непрерывность функционала ф заранее не- предполагается.
Доказательство. Пусть N — пространство нулей функционала ф. Если х?А и у?А, то из предположения ф(<?)=1 вытекает, что
(2) х = а+у(х)е, у=*Ъ + у(у)е,
где a?N, b?N. Если применить ф к произведению левых и правых частей уравнений (2), то получится
(3) ф (ху) = ф (ab) -f ф (х) ф (у).
Таким образом, требуемое заключение (1) эквивалентно утверждению, что
(4) ab?N', если a?N и b?N. Предположим, что частный случай утверждения (4), а именно
(5) a2?N, если a?N,
уже доказан. Тогда, полагая в (3) х = у, мы получим <6) ф (а:2) = [ф (x)Y (X (E А).
262
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Если заменить х на х-\- у в формуле (6), то будем иметь
(7) <р(ху-\-ух) = 2у(х)ц)(у) (х?А, у Є Л). Поэтому
(8) xy+yx?N, если xGN, у G А. Рассмотрим тождество
(9) (ху—ух)2 H- (xy + yxY = 2 [х (уху) + (уху)х].
Если x?N, то, согласно (8), правая часть тождества (9) также содержится в N. Кроме того, из (6) и (8) вытекает, что и элемент (ху -|- ух)2 содержится в N. Поэтому (ху—ух)2 содержится в N. Еще раз применяя (6), получаем, что
(10) ху—ухGN, если XGN, уG Л.
Если теперь сопоставить (8) и (10), то получится (4) и, следовательно, (1).
Таким образом, формула (1) вытекает из соотношения (5) чистс* алгебраически. Доказательство соотношения (5) осуществляется аналитическим методом.
По предположению пространство N не содержит обратимых элементов алгебры А. Следовательно, согласно утверждению (а) теоремы 10.7, имеем ||<? — *||^1 для всех xGN. Поэтому
