Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
П -*¦ JO
С другой стороны, если к ? о (х), то из тождества {12) (кпе—х") = {ке—х) (к"-1 е-}-... +х"-1)
вытекает, что элемент кпе—xtl необратим. Поэтому kn?o(xn) и в соответствии с формулой (2) имеем IкпKUXя||, /г=1, 2, 3, ... . Таким образом,
(13) р (JtK inf К хп И1/».
п >1
Формула (1), конечно, является прямым следствием неравенств (И) и (13). ш
Непустота спектра а (я) приводит к прозрачной характеристике тех банаховых алгебр, которые являются алгебрами с делением.
10.14. Теорема (Гельфанд—Мазур). Если А—такая банахова алгебра, в которой каждый ненулевой элемент обратим, то А изометрически изоморфна полю комплексных чисел.
Доказательство. Если х € А и X1=^=X2, то самое большее один из элементов kxe—X и к2е—X может равняться 0. Поэтому хотя бы один из них обратим. Так как о (х) непусто, то отсюда вытекает, что о (х) состоит ровно из одной точки, скажем точки к (х), для каждого х € А. Так как элемент к(х)е—х необратим, то он равен 0. Поэтому х = к(х)е. Следовательно, отображение х—*к(х) ¦осуществляет изоморфизм алгебры А и поля С, причем этот изоморфизм изометрический, поскольку \к(х) I = ||к(х)еIl = ||XIl для каждого X 6 А. Щ
Теоремы 10.13 и 10.14 — ключевые результаты данной главы. Большая часть содержания гл. 11—13 не зависит от остальной "части гл. 10.
266
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ и СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
10.15. Замечания, (а) Быть или не быть элементу алгебры А обратимым — чисто алгебраическое обстоятельство. Поэтому спектр и спектральный радиус элемента х?А полностью определяются алгебраической структурой, вне каких бы то ни было метрических (или топологических) рассмотрений. С другой стороны, Jim ||л;и \\1/п, очевидно, зависит от метрических свойств А. В этом состоит одно из замечательных свойств формулы спектрального радиуса: она устанавливает совпадение величин совершенно различного происхождения.
(Ь) Наша алгебра А может быть подалгеброй некоторой более широкой алгебры В. При этом вполне может оказаться, что некоторый элемент X Z А необратим в А, но обратим в В. В этом смысле спектр элемента х зависит от алгебры, в которой мы его рассматриваем. В понятных обозначениях имеет место включение оА (х) id Gn (х), но фигурирующие здесь спектры могут различаться. Спектральный радиус, однако, совсем не реагирует на переход от А к В, поскольку формула спектрального радиуса выражает эту величину в терминах метрических свойств степеней элемента х, а они не зависят от того, что происходит вне А.
Более детально взаимоотношение между оА (х) и Gn (х) описано в теореме 10.18.
10.16. «Лемма. Пусть V и W—открытые множества в некотором топологическом, пространстве X, причем V a W и W не содержит граничных точек множества V. Тогда V есть объединение некоторых компонент множества W.
Напомним, чго компонентами множества W называются его максимальные связные подмножества.
Доказательство. Пусть Q — компонента множества WТ пересекающая V. Пусть U—дополнение к V. Так как W не содержит граничных точек множества V, то Q представляется в виде объединения двух непересекающихся открытых множеств Qf]V и Q П U. Но Q связно. Следовательно, Qf]U пусто. Поэтому Q cz V.
10.17. Лемма. Пусть А—банахова алгебра, XnZG(A) при п = \, 2, 3, ... и X—граничная точка множества G(A). Тогдаг если Xn —> X при п —> оо, mo \\ x~l 11 —> оо.
Доказательство. Если утверждение неверно, то найдется такое конечное М, что || at«1 || <С А/ для бесконечного количества номеров п. Мы можем выбрать такой номер п, что \\хп—х \\ < \/М. Для этого п имеем
Il е-Xn1X Il = || Я"1 (Xn-X) ||< 1,
так что Xn1X ZG(А). Поскольку X = Xn(Xn1X) и G(A) — группа, то получается, что х Z G (А). Но это противоречит условиям, потому что G(A) открыто в Л. Iff
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
267
10.18. Теорема, (а) Если А—замкнутая подалгебра банаховой алгебры В, причем А содержит единицу алгебры В, то G (А) есть
. объединение компонент множества Af]G(B).
(Ъ) Если при тех же условиях х ? Л, то оД(х) есть объединение множества ов (х) и некоторого (возможно, пустого) семейства ограниченных компонент дополнения к ов(х). В частности, граница множества оА (х) содержится в ов (х).
Доказательство, (а) Каждый элемент алгебры А, обратимый в А, разумеется, обратим и в В. Поэтому G (А) с G (В). Оба множества G(A) и Af]G(B) открыты в А. Следовательно, согласно лемме 10.16, нам достаточно установить, что никакая граничная точка у множества G(A) не содержится в G(B).
Предположим, что точка у есть предел некоторой последовательности {хп) элементов из G(A). Тогда, но лемме 10.17, имеем JI-Kn1II—>0°- Если бы точка у содержалась в G(B), то ввиду непрерывности обратного в G(B) (теорема 10.12) последовательность Xu1 должна была бы сходиться к у1. В частности, числовая последовательность { Цл:"11|} оказалась бы ограниченной. Таким образом, у (? G (В) и утверждение (а) доказано.
(Ь) Пусть QA и QB—дополнения вСк оА(х) и ов(х) соответственно. Включение QA cz Qn очевидно, ибо k ? QA в том и только в том случае, если ке—х ? G (А). Пусть к0 — граничная точка множества QA. Тогда к0е—х есть граничная точка множества G (А). Согласно утверждению (а), имеем кпе—x^G (В). Поэтому k0^QB. Из леммы 10.16 теперь вытекает, что QA есть объединение каких-то компонент множества Qn. Все остальные компоненты множества Qn целиком содержатся в аА (х). Утверждение (Ь) доказано. Ц
