Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие. Если ов(х) не разделяет С, т. е. если его дополнение Q8 связно, то аА (х) = ов (х).
Действительно, в таком случае Qn не имеет ни одной ограниченной компоненты.
Наиболее важное применение этого следствия относится к ситуации, когда ов(х) состоит только из вещественных чисел.
В качестве еще одного приложения леммы 10.17 мы докажем следующую теорему, утверждение которой совпадает с утверждением теоремы Гельфанда — Мазура, но дальнейшие следствия не столь значительны.
10.19. Теорема. Если для банаховой алгебры А существует такое M < оо, что
<1) Il * Il IMK M И лт/И (Х?А,у?А),
то алгебра А изометрически изоморфна полю С комплексных чисел.
268
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Доказательство. Пусть у—граничная точка для G(A).. Тогда у = \'шуп для некоторой последовательности \уп\ элементов из G(A). Согласно лемме 10.17, имеем H^1II—><». По предположению
(2) \\Уп\\\\Упл\\<М\\е\\ (я=1, 2, 3, ...).
Следовательно, \\уп\\—>0 и поэтому у = 0.
Если X € А и X—граничная точка множества о (х), то Xe—х — граничная точка для G(A). Таким образом, х = Хе. Другими словами, A = {Xe: Х?С\. Щ
Естественно спросить, будут ли спектры двух элементов X и If из А близки в каком-то смысле, если близки элементы X и у. Следующая теорема дает очень простой ответ на этот вопрос.
10.20. Теорема. Пусть А—банахова алгебра, х? A, Q — открытое множество в С и о(х) cz Q. Тогда существует такое 6 > 0, что о (х-\- у) cz Q, если у^А и ||#||<8.
Доказательство. Так как \\(Хе—^)-1Il есть непрерывная функция от X в дополнении к а (л;) и так как эта норма стремится к 0 при X—>оо, то существует такое M < оо, что
\\(Хе-х)-^\\ < M
для всех X вне Q. Отсюда следует, что если у ? А, \\у\\<. \/М и X^ Q, то элемент
Xe—(х-\-у) = (Xe—х) [е—(Xe—я)-1 у]
обратим в А, так как ||(Xe—х)~1у\\<,\. Поэтому X(^o[х-\-у)~ Таким образом, полагая 6 = 1/AI, мы получаем требуемое. Щ
Функциональное исчисление
10.21. Введение. Если х — элемент банаховой алгебры А и f (Х) = а()-\- . . . -\-апХп — полином с комплексными коэффициентами,, то не может быть двух мнений относительно значения символа / (л;).. Очевидно, что таким способом обозначается элемент алгебры А,. определяемый равенством
[ (х) = а1)е-\-а1х + ... +апхп.
Возникает вопрос: допускает ли f (х) разумное определение для; других функций /? С некоторыми примерами такого сорта мы уже-встречались. Так, в процессе доказательства теоремы 10.9 мы были очень близки к определению экспоненциальной функции в А. Вообще, если f (X) = ^akXk—целая функция в С, то естественно определить f(x) ? А, полагая f (x) = ^akxk; такой ряд всегда сходится. Другой пример—мероморфная функция
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
269
В этом случае f(x) естественно определяется равенством
f(x) = (ae—x)~1J
которое имеет смысл для всех X1 спектр которых не содержит а.
Перечисленные примеры позволяют предположить, что / (х) ? А допускает разумное определение, если функция / голоморфна в некоторой открытой окрестности множества о(х). Это предположение действительно оправдывается, и цель может быть достигнута при помощи варианта формулы Коши, преобразующей комплексные функции на некотором открытом подмножестве комплексной плоскости С в Л-значные функции, заданные на некотором открытом множестве в Л. [Как и в классическом анализе, формула Коши оказывается здесь лучшим средством, чем разложения в степенные ряды.] Далее, так определенные / (я) (см. определение 10.26) обладают рядом интересных свойств. Наиболее важные из них собраны в теоремах 10.27—10.29.
Для некоторых алгебр можно пойти дальше. Например, если х— ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве H1 то символ f (х) можно интерпретировать как некоторый ограниченный нормальный оператор в // для каждой непрерывной комплексной функции / на о (х) и даже для каждой ограниченной комплексной борелевской функции. В гл.12 мы увидим, как это приводит к эффективному доказательству весьма общей формы спектральной теоремы.
10.22. Интегрирование Л-значных функций. Пусть Л—банахова алгебра и /—непрерывная Л-значная функция на некотором компактном хаусдорфовом пространстве Q, на котором определена комплексная борелевская мера р. Тогда, поскольку А является
банаховым пространством, интеграл ^ / dp существует и обладает
всеми теми свойствами, которые обсуждались в гл. 3. Кроме того, он обладает следующим дополнительным свойством, которое используется в дальнейшем: если х ? Л, то
(X) X ) fdp-\xf(p)dp(p)
Q Q
U
(2) (\fdp) x=lf(p)xdiL(p).
Ч ' Q
Для доказательства формулы (1) обозначим через Mx оператор умножения слева на элемент х (как это было и в доказательстве теоремы 10.2). Пусть Л—некоторый ограниченный линейный функционал на Л. Тогда AMx также является ограниченным линейным функционалом. Следовательно, согласно определению 3.26, имеем
AMx J / dp = J (AAfJ) dp = Л J (MJ) dp
QQ Q
270
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
для каждого функционала Л. Поэтому
Mx ] /dji = \ (MJ) dp,
Q Q
а это просто другая запись формулы (1). Для доказательства формулы (2) надо взять в качестве Mx оператор умножения справа на х.
