Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(11) \\Хе—*||>|А,| = |<р(Яс—jc)| (xGN, XGC),
так что ф является непрерывным линейным функционалом на А с нормой 1.
Для доказательства соотношения (5) фиксируем некоторый элемент a G N. Hc ограничивая общности, можно считать, что* \\а Il = 1. Положим
(12) №) = (*€ С).
•г = 0
Так как | <р (a") | ^ || ап ||^ ||a||n = 1, то / оказывается целой функцией, причем I / (X) I ^ ехр ІXI для всех XGC. Далее, / (0) = <р (е) = = 1 и /' (0) = <р(а) = 0.
Если мы сможем доказать, что / (X) Ф 0 для всех X G С, то из леммы 10.8 будет следовать, что /"(0) = 0. Поэтому <p(fla) = 0, и (5) будет доказано.
Ряд
со
(13) я W = E ї-г*"
/z=0
сходится по норме алгебры А при всех XGC Из непрерывности функционала <р вытекает, что
(14) f(X) = q> (E (X)) (XGC).
I
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
263
Как и в скалярном случае, из (13) вытекает, что E (к) удовлетворяет функциональному уравнению E (к + ц)-= E (к) Е(ц). В частности,
{15) E [X) E (—K) = E(O)=Ze (к ZС).
Поэтому для каждого к элемент E (к) обратим в алгебре А. По предположению отсюда следует, что ср (E (к)) Ф 0, т. е. согласно (14), что Ї(к)ф0. H
Основные свойства спектров
10.10. Определения. Пусть А—банахова алгебра и G = G(A) — множество всех обратимых элементов алгебры А. Если x?G и у^G, то элемент у~*х является обратным к х~1у. Таким образом, x~lyZG, и, следовательно, G является группой.
Спектр о(х) элемента х Z А по определению есть множество всех таких комплексных чисел к, что ке—X не имеет обратного. Дополнение к о* (л:) в С называется резольвентным множеством элемента х. Оно состоит из всех таких комплексных чисел к, для которых (ке — х)'1 существует.
Спектральным радиусом элемента х называется число
(1) р (х) = sup {\k\: k Zo(x)\.
Оно равняется радиусу наименьшего замкнутого диска в С с центром в точке 0, который содержит о (х). Конечно, формула (1) теряет смысл, если о (х) пусто. Но мы вскоре покажем, что так никогда не бывает.
10.11. Теорема. Пусть А—банахова алгебра, xZG(A), hZA и 1IAIK1AII*"1!!"1- Тогда x + h?G(A) и
(1) Il (X + K)-I-X-1 + л-1/**-1 |К 2 К х-1 II3 К h у2.
Доказательство. Так как x-\-h = х (е-\-х~Щ и Ц x~xh || <1/2, го из теоремы 10.7 вытекает, что x-\-hZG(A) и что норма элемента в правой части тождества
(х -И)-1—х-1 + x-lhx~l = [(в + х-Щ-1—е+х-Щ х~1 ie превосходит 2 Il х~% II2 И X'1 \\. Щ
10.12. Теорема. Если А—банахова алгебра, то G(A) образует открытое множество в А, а отображение х—ух"1 является го-геоморфизмом G (А) на себя.
Доказательство. Из теоремы 10.11 вытекает, что G(A) ткрыто в Л и что отображение х—>х~* непрерывно. Так как тображение X—*х~г взаимно однозначно переводит G (А) на себя совпадает с обратным к нему, то оно является гомеоморфизмом. Щ
264 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
10.13. Теорема. Пусть А—банахова алгебра и х?А. Тогда-
(a) спектр о (х) элемента х есть непустое компактное множество;
(b) спектральный радиус р (х) элемента х удовлетворяет условию
(1) 9 (х) = Hm II хп Il»/« = inf И хп Il»/".
Заметим, что существование предела в (1) составляет часть утверждения и что в этой формуле спектрального радиуса содержится неравенство
(2) Р(*Х11х||.
Доказательство. Если |л.|>||я||, то е—Х~хх содержится в G(A) по теореме 10.7. Поэтому Xe—х содержится в G(A), так что X^o (х). Этим доказано неравенство (2). В частности, о (х)— ограниченное множество.
Для доказательства замкнутости о (х) определим отображение g: С—>Л, полагая g (K) = Xe—х. Тогда g непрерывно и дополнение ?2 к о(х), совпадающее с g'1 (G (А)), открыто в силу теоремы 10.12. Таким образом, о (х) — компакт.
Определим теперь отображение /: Q —>G(A), полагая
(3) f (К) = (Xe-x)-i (X ?Q).
Заменим X на Xe—х и Ii на (р,—X)е в теореме 10.11. Если X?Q и р достаточно близко к X, то в результате такой подстановки, получится неравенство
(4) II/ ((-О — f(ty + (\L — X) /2 (X)||<2 Il/ (X) lpI р-XI", так что
(5) Hm ІЩііІМ = - f* (X) (X 6 O).
Таким образом, / является сильно голоморфной Л-значной функцией в Q.
Если 1^1 > Ця Ц, то соображения, использованные в теореме 10.7, показывают, что
со
(6) f(X)= 2 x-»-ix» = x-ie + x-*x+... .
Этот ряд равномерно сходится на каждой окружности Г,, с центром в точке 0 и радиусом г>||*||. По теореме 3.29 законно почленное интегрирование этого ряда. Поэтому
(7> х" = ^§Х'І(Х)аХ (г > J xИ, /1 = 0, 1,2, ...).
1v
Если допустить, что о (х) пусто, то Q будет совпадать с С и, по теореме Коши 3.31, все интегралы в (7) окажутся равными 0.
ГЛ. JO. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
265
Но при п = 0 левая часть в (7) равна е ф 0. Полученное противоречие означает, что о (х) непусто.
Так как область Q содержит все к, такие, что |Х|>р(лг), то, применяя теорему Коши 3.31 к (3), мы видим, что в формулах (7) условие г > II X К можно заменить на г > р (л:). Из непрерывности функции / вытекает, что
<8) M (г) - max || / (п><°) ||< оо (г > р (*)).
е
В сочетании с (7) это дает
(9) И л;» |К ^+1M (г),
.а следовательно,
{1O) Hm sup Il хп \\^п < г (г>р{х))
П QO
и, наконец,
{1I) Hm sup И хп \\lfn < р (je).
