Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
10.23. Контуры. Пусть К—компактное подмножество некоторого открытого множества QcCh Г—конечное семейство ориентированных отрезков Y11 ...,Yn в ни один из которых не пересекается с К. В этой ситуации интеграл по Г определяется равенством
(1) \ ф (A)CU= 2 )Ч>&)<&.
г / = і V7
Хорошо известно, что Г можно выбрать с таким расчетом, чтобы иметь
(2) ind^O^C^** ( !.если ? (E/С,
и в этом случае для каждой голоморфной в Q функции / и каждой точки t,?K справедлива формула Коши1)
О) /(D=^7J (^-C)-1/(MdL
г
См., например, [27, теорема 13.5].
Кратко мы будем описывать ситуацию (2) словами: контур Г охватывает KeQ.
Заметим, что здесь ни К, ни Q, ни объединение отрезков у,- не предполагаются связными.
10.24. Лемма. Пусть А—банахова алгебра, х ? A, a ? С, a ^ о (х), Q—дополнение к а в С и контур Г охватывает о (х) в Q. Тогда
(1) 2nlJ(a—W(Xe-x)~1dX = (ae—х)" (л = 0, ±1, ±2, ...).
г
Доказательство. Обозначим интеграл через уп. Если X^o (х), то
(А,?—л:)-1 = (ае—х)'1 -|- (а—л) (ае—л:)-1 (Xe—л:)-1. Поэтому уп, согласно п. 10.22, представляется в виде суммы
(2) (ae-x)-*~\(a~XydX
г
х) Все сказанное в равной степени относится к произвольным кусочно-гладким и вообще к любым спрямляемым контурам.— Прим. ред.
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
271
(эта величина равна 0, так как lndr(a) = 0) и
(3) {ае-х)-*.±§(а-ЬГ+1 (Xe-X)-1M.
г
Следовательно,
(4) (ае—X)уп = уп + 1 (п = 0, ±1, ±2, ...).
Это рекуррентное соотношение показывает, что общий случай формулы (1) получается из частного случая п = 0. Таким образом, мы должны доказать, что
(5) JLr(Xe-*)-^ = «.
г
Пусть Гг—положительно ориентированная окружность с центром в точке 0 и радиусом г>||д;||. На Тг имеем
со
(Хе—х)-у = 2?-»?
п = 0
Почленно интегрируя этот ряд, мы получаем (5), но с заменой Г па Гг. По под знаком интеграла в (5) стоит А-значная функция, голоморфная вне о (х) (см. доказательство теоремы 10.13). Кроме того,
(6) Indrr (?)=1 = In(Ir(C)
для каждой точки ?6о~(л:). Поэтому, согласно теореме Коши 3.31, интеграл (5) не изменится, если Г заменить на Г,-.
10.25. Теорема. Пусть
(О R(X) = P(X)+ S ся, й (л-ая)-*
т, к
— рациональная функция с полюсами в точках сст(Р—полином, и сумма в (1) имеет только конечное число членов). Если х?А и а (х) не содержит полюсов функции R, то положим
(2) R(X) = P (X) I- 2 W (х-
т, k
Пусть Q—открытое множество в С, содержащее о(х), и контур Г охватывает о (х) в Q. Если функция R голоморфна в Q, то
(3) R (х) = J R (X) (Xe х)-1 dX.
г
Доказательство. Применяем лемму 10.24. Ц Заметим, что формула (2) представляет собой наиболее естественное определение рациональной функции от элемента х ? А. Утверждение (3) показывает, что формула Коши приводит к тому же результату. Этим оправдано следующее ниже определение.
272 часть 3. банаховы алгебры и спектральная теория
10.26. Определение. Пусть Л—банахова алгебра, Q — открытое множество в С и Я (Q)— алгебра всех комплексных голоморфных функций в Q. Согласно теореме 10.20, множество
(1) Au = {x?A: o(x)czQ\ открыто в Л.
Множество H (Aq) определяется следующим образом. Оно состоит из Л-значных функций /, заданных в Aq, причем функция / получается из функции f G H (Q) по формуле
(2) 1(X)=^If (Х)(ке-х)-ЫК
г
где Г—произвольный контур, охватывающий о(х) в Q. Приведенное определение требует некоторых пояснений.
(a) Так как Г отстоит от о (х) на положительное расстояние и так как переход к обратному—непрерывная операция в G(A), то подынтегральное выражение в (2) непрерывно и, следовательно,
интеграл существует и f(x) действительно является элементом алгебры Л.
(b) Подынтегральная функция фактически является голоморфной Л-значной функцией в дополнении к а (х) (точнее, в пересечении этого множества с областью голоморфности функции /). Это отмечалось в доказательстве теоремы 10.13; см. также упр. 3. Поэтому из теоремы Коши 3.31 вытекает, что / (х) не зависит от выбора контура Г, конечно, при условии, что Г охватывает о (х) в Q.
(c) Если х = ае и aGQ, то формула (2) дает
<3) ](ae) = f(a)e.
Заметим, что ае?А$. тогда и только тогда, когда aGQ. Если отождествить точки X^C с Xe^ А, то каждую функцию f ? H [Q) можно будет рассматривать как отображение некоторого подмножества множества Aq (а именно пересечения Aq с одномерным подпространством в Л, порожденным элементом е) в Л. При этом
функцию / можно интерпретировать как продолжение функции /.
Очень часто в данном контексте пишут просто f (х) вместо J (х).
Мы используем здесь обозначение f(x), поскольку оно позволяет избежать некоторых двусмысленностей, которые могут привести к недоразумениям.
(d) Если 5—произвольное множество и Л — некоторая алгебра, то семейство всех Л-значных функций на 5 относительно поточечных операций умножения на скаляры, сложения и умножения образует алгебру. Например, если и и v—отображения 5 в Л, то
(uv) (s) = и (s) V (s) (s G S).
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
273
В частности, это надо иметь в виду по отношению к Л-зпачпым функциям, определенным В Aq.
10.27. Теорема. Пусть A, H (Q) и H (Aq)—теже, что и в определении 10.26. Тогда H (Aq) есть комплексная алгебра. Отобра-оісение f —>J представляет собой изоморфизм алгебры H (Q) на
