Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
8. Описать все распределения, носителями которых служат конечные .множества.
9. (а) Доказать, что множество F cz S) (Q) тогда и только тогда огра-яичено, когда
sup { I Лф |: ф?Я} < оо
для каждого Л G S)' (й).
(b) Пусть {фу} — такая последовательность элементов S) (й), что числовые последовательности {Лфу} ограничены при каждом AGS)' (&)¦ Доказать, что некоторая подпоследовательность последовательности {фу} сходится в топологии S) (й).
(c) Пусть {Лу}—такая последовательность из S)' (?2), что для каждого \(GS) i?) числовая последовательность {Луф} оказывается ограниченной. Доказать, что некоторая подпоследовательность последовательности {Лу} сходится в S)' (Q), причем сходимость равномерна на ограниченных подмножествах S)(Si)- Указание. По теореме Банаха—Штейнгауза сужения распределений Лу на S)K равностепенно непрерывны. Примените теорему Асколи.
10. Пусть {/,•J — некоторая последовательность локально интегрируемых функций в Q (где Q— открытое множество в R"). Предположим, что
Hm [ If1(X)\dx = 0
для каждого компакта К CZ Q. Доказать, что Da/f-—*-0 в @)' (Q) при і —> оо для каждого мультииндекса а.
11. Пусть Q — открытое множество в R2 и {/,}— последовательность гармонических функций в Й, сходящаяся в смысле распределений к некоторому AGS)' (Q)- Точнее говоря, предположение состоит в том, что
Лф = lim С fi (х) y(x)dx (ф G S) (Й))•
Доказать, что последовательность {/,} сходится равномерно на каждом компакте в й и что Л является гармонической функцией. Указание. Если / — гармоническая функция, то / (д:) есть среднее от / по малой окружности с центром в точке х.
12. Напомним, что распределение б (мера Дирака) определяется равенством б(ф) = ф(0) при ^GS)W- Для каких /(ЕС00 (R) верно, что/б'- 0? Ответить на тот же вопрос по отношению к /б". Вывести отсюда, что функция /?С°° (R) может обращаться в пуль на носителе распределения AGS)' (R), хотя /Л Ф 0.
13. Если (pGS) (Q) и AGS)' (й), то верно ли, что любое из утверждений
фЛ = 0, Лф = 0
вытекает из другого?
190 часть 2. распределения и преобразование фурье
14. Пусть К — замкнутый единичный шар в Rn. Предположим, что носитель распределения А?ЗУ (R'2) содержится в К, и пусть функция /?С°° (R") равна нулю на К. Доказать, что /Л = 0. Найти другие множества К, для которых это верно (ср. с упр. 12).
15. Пусть К cz V cz Q, где К — компакт, а V и У — открытые множества в R". Предположим, что носитель некоторого распределения Л? S)' (Q) содержится в К. Допустим, что последовательность {<р,-} cz S) (Q) удовлетворяет условию
(а) lim Г sup I (Оаф() (*) I "I =0
для каждого мультииндскса а. Доказать, что тогда
lim А (ф/) = 0.
16. Прсдыдушее утверждение становится неверным, если в условии (а) заменить V на К. Доказать это при помощи следующего примера, в котором Q = R. Выберем такую числовую последовательность c1 > c2 > ... > 0, что
j < оо. Положим
Лф= 2 (ф(с/)-ф(°)) (ч>€&НЮ) i=i
и рассмотрим такие функции (р,-?3) (R), что ф/(*) = 0, если X^Cj+1, и (JP1-(X) = I/!, если X^c1. Показать, что порядок распределения Л равен 1.
Вместе с тем для некоторых компактов К множество V в условии (а) упр. 15 можно заменить на К. Доказать, что это так, если К—замкнутый единичный шар пространства R". Найти другие множества К, для которых это справедливо.
17. Пусть распределение A^S)' (R) имеет порядок Л/. Доказать, что имеет место представление Л = ®-^ + 2/, где/ — непрерывная функция. Описать всевозможные такие / для Л = б.
18. Для распределения б ? S)' (R2) найти представление, гарантированное теоремой 6.27, но возможности в наиболее явной форме.
19. Пусть А?@)' (Q), ^GS) (Q) и (Da(f) (*)=0 для каждого х из носителя распределения Л и каждого мультииндекса а. Доказать, что Лф = 0. Наводящее соображение. Проделайте это сначала для распределений с компактным носителем при помощи метода, использованного в теореме G.25.
20. Доказать, что каждый непрерывный линейный функционал на пространстве С°° (Q) имеет вид /—> A/, где Л—распределение с компактным иоси--телем в Q. Это утверждение является обратным к утверждению (d) теоремы 6.24.
21. Пусть С°° (T) — пространство всех непрерывных комплексных функций на единичной окружности T в комплексной плоскости С. Пространство С°° (T) можно рассматривать как подпространство в С°° (R), состоящее из функций с периодом 2я. Предположим, что ряд
со
/(г) = 2 апгП
сходится в открытом единичном диске U cz С. Доказать, что выполнение-каждого из следующих трех условий на / влечет за собой выполнение двух, других.
гл. 6. пробные функции и распределения
191
(a) Существуют такое р < оо и такое у < оо, что
I ап I < у-пР (л=1, 2, 3, ...).
(b) Существуют такое р < оо и такое у < °°> что
|/<2)|<уО-И)-'
(c) Для каждого ф^С00 (Г) существует lim \ / (ге1"е) ф (e1"6) rf8 (комплекс-
-я
яое число).
22. Показать, что для каждого и??7)' (R)
U~*xU ->Du в (R)
при л:—> O. [Таким образом, как и в классической ситуации, производную распределения и можно получить в качестве предела отношения.]
23. Предположим, что {^,}—такая последовательность локально интегрируемых функций в R", для которой
