Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
6.23. Теорема. Если W—описанное выше множество, то распределение А исчезает в W.
Доказательство. Множество W является объединением открытых множеств со, в каждом из которых распределение Л исчезает. Пусть Г—семейство всех таких множеств со, и пусть {я]),-}—локально конечное разбиение единицы в W, подчиненное покрытию Г в смысле теоремы 6.20. Если ср ? S)(W), то Ф = 2 4IVP-В этой сумме только конечное число ненулевых членов. Поэтому
аф=2л ом>)=о,
поскольку носитель каждой из функций яр,- содержится в некотором о) G Г. Щ
Наиболее значительным из утверждений следующей ниже теоремы является утверждение (d). Его дополняет упр. 20.
6.24. Теорема. Пусть Л?^'(^) и «Ял—носитель распределения А.
гл. 6. пробные функции и распределения
175
(a) Если носитель функции <p ? S) (Q) не пересекается с 5Л,
720 Лф = 0.
(b) Если SА пусто, то Л = 0.
(c) Если яр G С* (Q) и яр=1 на некотором открытом множе* :тве V, содержащем 5Л, /по ярЛ = Л.
(d) Если 5д является компактным подмножеством в Q, /но распределение Л имеет конечный порядок. Фактически в этом случае существуют такая константа С < оо и такое неотрицательное целое N, что
|Лф|<С||ф||*
для всех ф ? іS) (Q). Более того, функционал А однозначно продолжается до непрерывного линейного функционала на С°° (Q).
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) очевидны. Если ip—функция, указанная в (с), и ф ^ (Q), то носитель функции ф — \]хр не пересекается с 5л- Поэтому, согласно (а), имеем Лф = Л(я]хр) = (ярЛ) (ф).
Если множество 5л компактно, то ввиду теоремы 6.20 найдется такая яр G S) (Q), что выполняется (с). Фиксируем некоторую такую яр, и пусть К — ее носитель. По теореме 6.8 существуют такая константа C1 и такое N, что |Лф | ^c1 || ф для всех ф € S)«. Из формулы Лейбница вытекает существование такой константы с2, что || ярср \\N ^ C2 || ф ||# для каждой ф ? S) (Q). Поэтому для всех ф ? S) (Q)
I Лф I = I Л (ярф) К о, Il ярф \\N < C1C2 Il ф \\N.
Так как Лф = Л(я1)ср) для всех ср Є S) (Q), то формула
(1) Л/=Л(ір/) (/6C-(Q))
задает продолжение функционала Л на С00 (Q). Это продолжение непрерывно. Действительно, пусть /(-—>0 в C°°(Q). Тогда /)а/х-стремится к 0 равномерно на каждом компактном подмножестве множества Q для любого му л ьти индекса а. По формуле Лейбница яр/;—->0 в S)(H). Поскольку Л € S)' (Q), отсюда следует, что Afі —>0.'
Если f ? С00 (Q) и /C0 — произвольное компактное подмножество в Q, то существует такая q>?S)(Q), что ф=/ на K0- Отсюда следует, что S)(Q) плотно в С* (Q). Поэтому каждый функционал Л Є S)' (Q) имеет не более одного непрерывного продолжения на С00 (Q). ¦
Примечание. Для справедливости утверждения (а) существенно, что функция ф равна нулю не только на самом множестве Sa, но и в некоторой его окрестности.
176
часть 2. распределения и преобразование фурье
Ввиду утверждения (Ь) простейшим нетривиальным случаем является тот, в котором SA состоит из единственной точки. Множество всех таких распределений допускает полное описание.
6.25. Теорема. Пусть Л (E (Q), р 6 Q, {р} есть носитель распределения Л и порядок распределения Л равен N. Тогда существуют такие константы са, что
(1) Л = 2 caD*6
Ia| < n
где 6—функционал, действующий по формуле
(2) 6„(Ф) = Ф(Р).
Обратно, каждое распределение вида (1) имеет своим носителем множество {р\ (за исключением случая, когда са = 0 при всех а).
Доказательство. Ясно, что для любого мультииндекса a носителем распределения Daop служит множество \р). Этим доказано последнее утверждение теоремы.
При доказательстве нетривиальной части теоремы мы можем предположить, что /7 = 0 (начало координат в R"). Рассмотрим некоторую функцию <p?*25(Q), для которой
(3) (Da<p) (0)=0 при всех а с |а|<А/.
Наша первая цель—доказать, что Лф = 0, если ср удовлетворяет условию (3).
Пусть п. > 0. Найдется такой компактный шар /CcQc центром в точке 0, что
(4) |?>афКл в /С, если |a|=7V. Мы утверждаем, что
(5) I ?аф(*)|< H^-IaIjx [AMaI (ХЄК, | CC |</V).
Если IaJ = TV, то это совпадает с (4). Пусть l^is^/V. Предположим, что (5) доказано для всех а с |a| = t, и пусть |?| = i—1. Градиентом функции D$q> является вектор
(6) grad D'4 = (D1D^(P, DnD^y). Из индуктивного предположения вытекает, что
(7) ] (gradDPcp) (х)\^п-щ^\ x\N~{ (х?К),
и так как (Dpcp) (0)=0, то, используя теорему о среднем, мы видим, что (5) выполняется с заменой а на ?. Таким образом, неравенства (5) установлены.
Выберем теперь такую вспомогательную функцию Ip^S)(R") с носителем в единичном шаре В пространства R", которая
гл. 6. пробные функции и распределения
177
равна 1 в некоторой окрестности точки 0. Положим
(8) IJv (я) = яр (-f) (г > 0, je Є R«).
Если г достаточно мало, то носитель функции я])г содержится в rBczK- По формуле Лейбница
(9) Da (яр/р) (X) = X ^(D"-0*) ff) ФРФ) W HPI-I««.
Поэтому из (5) вытекает, что для достаточно малых г
(Ю) ||^ФІи<чС||яр|и
с подходящим С, которое зависит от п и N.
Так как распределение Л имеет порядок N, то существует такая константа C1, что | Ляр | ^ C11| яр \\N для всех яр (E к. Так как ярг=1 в некоторой окрестности носителя распределения Л, то в силу неравенства (10) и утверждения (с) теоремы 6.24 мы получаем
