Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
f = 0\ группа G = R (с обычной топологией) непрерывно (см. упр. 12) и R
линейно действует на X = L1 сдвигами: (Tsf)(x) = f (s+х), T3Y = Y для всех s?R и подпространство Y дополняемо в X. Тем не менее не существует коммутирующего со всеми операторами T5 проектора пространства X на подпространство Y (даже разрывного).
14. Предположим, что T и 5 — такие непрерывные линейные операторы в топологическом векторном пространстве, что T = TST. Доказать, что образ оператора T замкнут (в случае S = I это сводится к утверждению (а) теоремы 5.16).
15. Пусть S — компактное хаусдорфово пространство и А — замкнутое подпространство пространства С (S). Пусть и — крайняя точка единичного
шара в Л-1-, a f?C(S)—такая вещественная функция что
для всех g?A. Доказать, что тогда функция / постоянна на носителе меры и (ср. с теоремой 5.7). Показать на примере, что это утверждение становится неверным, если не предполагать вещественности функции f.
Часть вторая
Распределения и преобразование
Фурье
Глава 6
ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Введение
6.1. Теория распределений освобождает дифференциальное исчисление от некоторых трудностей, возникающих ввиду существования недифференцируемых функций. Это достигается путем распространения дифференциального исчисления на класс объектов (называемых распределениями или обобщенными функциями), значительно более широкий, чем класс дифференцируемых функций, к которым дифференциальное исчисление по-прежнему применяется в своей первоначальной форме.
Дія того чтобы таког расширение оказалось полезным, необходимо выполнение ряда условий. В частности, для каждого открытого множества в
(a) люэая непрерывная функция должна быть распределением;
(b) любое распределение обязано обладать частными производными, которые снова являются распределениями (каждое распределение тем самым будет «бесконечно дифференцируемым»). Для дифференцируемых функций новое понятие производной должно совпадать со старым;
(c) должны сохраняться обычные формальные правила дифференциального исчисления;
(d) достаточно богатый запас теорем сходимости должен обеспечивать возможность обычных для анализа предельных переходов.
Мы объясним мотивы следующих далее определений, ограничившись временно случаем п = \. Встречающиеся ниже интегралы понимаются в смысле меры Лебега. Если пределы интегрирования пе указаны, то это означает, что оно распространяется на всю вещественную ось R.
Комплексная функция f называется локально интегрируемой,
если она измерима и jj|f|<°° для любого компакта Ka R.
к
Основная идея состоит в том, чтобы интерпретировать f не как
160
часть 2. распределения и преобразование фурье
обычную функцию, сопоставляющую каждому л: ? R некоторое число f(x), а как нечто такое, что сопоставляет каждой выбранной подходящим образом «пробной функции» ср число ^ /ср. [Такая точка зрения особенно удобна для функций, возникающих в физических рассмотрениях, ибо почти всегда величины могут быть измерены только в среднем. Не удивительно, что распределения использовались физиками задолго до того, как была построена их математическая теория.] Разумеется, выбор подходящего класса пробных функций следует уточнить.
Мы будем рассматривать векторное пространство /K) = i2)(R) всех функций ф ?С°° (R) с компактным носителем. Тогда для каждой локально интегрируемой функции / и каждой функции
ф??5 существует интеграл ^/ф. Кроме того, класс настолько
обширен, что интегралы /ср однозначно определяют функцию / почти всюду (п. в.). [Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что равномерное замыкание множества содержит каждую непрерывную функцию с компактным носителем.] Если функция / непрерывно дифференцируема, то
(1) \V^=-\W (фЄ®).
Если [GC00 (R), то
(2) $/<*><p-(-l)*$fo<« (ф€®, ? = 1,2,3, ...).
При интегрировании по частям здесь использована компактность носителя функции ф.
Ясно, что интегралы справа в формулах (1) и (2) имеют, смысл независимо от того, дифференцируема или нет функция /, и что они определяют линейный функционал на пространстве
Тем самым мы можем сопоставить каждой локально интегрируемой функции / ее «k-ю производную» /(А), понимая под этим линейный функционал на &), который на элементе ср принимает
значение (—1)/г^/ер(Л). Заметим, что самой функции / при этом
сопоставляется линейный функционал ф—^^fty-
Распределениями будут те линейные функционалы на SD, которые непрерывны в некоторой топологии (см. определение 6.7). Предыдущие рассмотрения наводят на мысль сопоставить каждому распределению А его «производную» А' по формуле
(3) А'(Ф)=-А(Ф') (ср <=?>).
Оказывается, что при таком определении (если распространить его на случай п переменных) выполняются все перечисленные выше условия. Одно из наиболее важных достоинств получающейся в результате теории состоит в том, что она позволяет
гл. 6. пробные функции и распределения
161
применять технику преобразования Фурье ко многим проблемам дифференциальных уравнений в частных производных, когда классические методы перестают работать.
Пространства пробных функций
