Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 69

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 171 >> Следующая

Доказательство. Существуют такие компактные кубы Q1- и такие открытые множества V1- (J= 1, 2, 3, ...), что Q,- с: V1 с Q, множество Q есть объединение кубов Q1- и каждое компактное подмножество в Q пересекается лишь с конечным числом множеств V1. Далее, существуют такие функции ф,- ? S) (V{), что Ф; = 1 на Q1-. Используем эту последовательность {ф,} для построения разбиения единицы -{яр,}, как это указано в теореме 6.20. Носитель функции яр,- будет тогда содержаться в V1.
Теорема 6.27 применима к каждому из распределений яр;Л. Поэтому существует такоо конечное семейство непрерывных
ФУНКЦИЙ ftt а в V;, что
(1) 1>Л=2*77<.«.
а
Положим
ОС
(2) ga = 2 fi. а-
t = 1
Сумма справа является локально конечной в том смысле, что каждый компакт /CcQ пересекается лишь с конечным числом носителей функций /і, а- Отсюда следует, что все функции ga непрерывны в Q, и тем самым выполняется свойство (а).
гл. 6. пробные функции и распределения
ISl
Так как Ф = 2'Ф/(Р для кажДого ф Z S (Q), то мы имеем Л = 2'ФД и» следовательно, утверждение (Ь) вытекает из формул (1) и (2).
Наконец, последнее утверждение вытекает из теоремы 6.27. Ц Свертки
Отправляясь от свертки двух функций, мы определим свертку распределения и пробной функции, а затем (при некоторых дополнительных условиях) свертку двух распределений. Свертки важны в приложениях преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям. Характеристическим свойством сверток является то, что они коммутируют со сдвигами и с дифференцированиями (теоремы 6.30, 6.33, 6.37). Кроме того, дифференцирования можно рассматривать как свертки с производными меры Дирака (теорема 6.37).
Удобно несколько видоизменить обозначения и использовать-буквы и, V, ... для обозначения не только функций, но и распределений.
6.29. Определения. В оставшейся части этой главы мы будем, писать S) и S' вместо S(W1) и S' (R"). Если и — некоторая функция на R" их^ R", то тхи и и суть функции, определяемые равенствами
(1) (rxti)(y)=-u(y—x), и (у) = и (—у) (у ? R«). Заметим, что
(2) (VxU) (у) = й(у—х) = и(х—у).
Если и и V—комплексные функции на R", то их сверткой называется функция
(3) (и * V) (х) = J и (у) V (х—у) dy
при условии, что интеграл существует для всех (или по крайней мере для почти всех в смысле меры Лебега) х ZRn- Интеграл понимается в смысле Лебега. В соответствии с формулой (2) имеем
(4) (и * V) (х) = J и (у) (txV) (у) dy.
Это делает естественным следующее определение:
(5) (и *ф) (х) = и (xjp) (и ZS', ф€^>, XZR"),
так как если и—локально интегрируемая функция, то (5) совпадает с (4). Заметим, что &*ф есть функция.
Соотношение J (XxU)-V = J и-(т_xv), справедливое для любых
функций unv, делает естественным определение сдвига тд.м.
182
часть 2. распределения и преобразование фурье
распределения и G по формуле
(6) (txu) (ф) = и (т_аФ) (ф 6 X Є R").
При этом тхи G S)' при каждом х Є R*. Проверку непрерывности функционалов ххи мы предлагаем в качестве упражнения.
6.30. Теорема. Пусть и € ф€-@, Тогда
(a) Tx (и * ф) = (тА.«) «• ф = и * (тАф) для всех л; ? R";
(b) ««ф^С* w
Da (« * ф) = (Dau) * ф = и * (D» для каждого мультииндекса а;
(c) U -Х- (ф * Ij)) = (и * ф) * ф.
Доказательство. Для каждого #? R" имеем
{Tx (и * ф)) (у) = {и * ф) (#—x) = и (т^ф), ((txm) * ф) (//) = (TxU) (туц) = w (ту_А.ф), (и * (тА.ф)) (г/) = и {ту (тжф)~)= и (ту_хц>),
что и дает (а). Заметим, что были использованы соотношения
TyT_х = ту_ж и (тл.ф)~ = т_А.ф.
В дальнейшем чисто формальные выкладки типа только что проведенных будут иногда опускаться.
Если применить функционал и к обеим частям тождества
(1) тл.(фаф)^ = (-1)'а|Оа(тА.ф), то мы получим часть соотношений (Ь), а именно
(«»(Daq>)) (*)=((Da«)#cp) {X).
Для доказательства остальных обозначим через е единичный вектор в пространстве R" и положим
(2) Л,= /"1Ct0-O (г>0). Тогда соотношение (а) дает
(3) Т)г(«*ф)=И#(Г1гЧ>)-
Если г—> 0, то *»1гф—>- D^p в ?9, где D6 обозначает дифференцирование по направлению е. Поэтому
М(ч,ФГ) — МЯефГ в <2> для каждого x^R", так что
(4) 1 im (W * (VP)) (*) ^ (u * (Оеф)) (х).
r-»-u
гл. 6. пробные функции и распределения
Используя (3) и (4), мы получаем
(5) De(u* ф) = w «-(De(p),
и итерация формулы (5) даег (Ь).
Доказательство утверждения (с) мы начнем с тождества
(6) (Ф*1>Г(0 = S Ф (S) (т,ф) (0 ds.
Пусть K1 и K2—носители функций ф и ф соответственно. Положим К = K1 + K2- Тогда
s (s) js ф
есть непрерывное отображение R" в 3)к, равное 0 вне K2. Поэтому тождество (6) может быть переписано с использованием uD^-значного интеграла в виде
(7) (ф*^Г = J U (s) t5(JdS,
и теперь теорема 3.27 показывает, что (и*(ф*ф)) (0) = ы((ф*ярП =
= Jj ар (s) а (т5ф) ds = J ф (—s) (и * ф) (s) ds,
или
(8) (W # (ф • ip)) (0) = ((и * ф) * ф) (0).
Чтобы из равенства (8) получить аналогичное равенство с заменой точки 0 произвольной точкой х, достаточно применить (8) к функции т_вместо ф и затем использовать утверждение (а). Тем самым (с) доказано. Ц
6.31. Определение. Термин аппроксимативная единица на R* будет использоваться для обозначения последовательности функций Hj вида
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed