Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 66

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 171 >> Следующая

(DUA) (ф) = (—1)1 а 'Л (Оаф) = (—1)1«і Hm A1- (Daq>) = = Hm (EFAi)(V. ¦
і -*¦ со
6.18. Теорема. Если А{—>А в S)'(Q) и gi~+g в С00 (Q), то ?Ai-+gA в S)' (Q).
172
часть 2. распределения и преобразование фурье
Примечай и е. Утверждение «g",- —> g в С°° (Q)» относится к топологии пространства Фреше, описанной в п. 1.46.
Доказательство. Фиксируем q?S)(Q). На пространстве С00 (Q) X S)' (Q) определим билинейный функционал В, полагая
B(g, A)=teA)(q>) = Afeq>). Функционал раздельно непрерывен, и, согласно теореме 2.17,
B(gh А,) —>В (g, А) при /-+оо.
Поэюму
teA)(<p)-*teA)(q>). ¦
Локализация
6.19. Локальное равенство распределений. Пусть A1? S' (Q) (г —1,2), и пусть со — открытое подмножество в Q. Утверждение
(1) A1 = A2 в со
означает, по определению, что A1V = A2V для каждого ф?<й)(и)). Например, если / — локально интегрируемая функция в Q, то A7 = O в G) тогда и только тогда, когда /(л;) = 0 почти всюду в со. Если р — некоторая мера, то Afi = 0 в со тогда и только тогда, когда р(/:)=0 для каждого борелевского множества Еаы.
Приведенное определение позволяет говорить о локальных свойствах распределений. С другой стороны, оно позволяет судить о распределении в целом, если известно его локальное поведение. Точное утверждение на этот счет содержится в теореме 6.21. В его доказательстве используется разбиение единицы, которое мы и построим сначала.
6.20. Теорема. Пусть Г—семейство открытых множеств в R'2, объединение которых содержит Q. Тогда существует такая последовательность \tyt}czS) (Q)1 что %-^0 и
(а) носитель каждой из функций ^1- содержится в некотором из множеств семейства Г,
OO
(D) 2 (х) = 1 пРи любом X G Q,
і- \
(с) каждому компакту KczQ соответствуют такое целое число т и такое открытое множество Wzd К, что
(1) Фі(*)+...+яМ*)=1
для всех X 6 W.
Такое семейство функций {ipt} называется локально конечным разбиением единицы в Q, подчиненным открытому покрытию Г множества Q. Отметим, что, как вытекает из свойств (Ь) и (с),
гл. 6. пробные функции и распределения
173
каждая точка множества Q обладает окрестностью, которая пересекается лишь с конечным числом носителей функций яр,-. Именно по этой причине семейство {я}',-} называется локально конечным.
Доказательство. Пусть S—счетное всюду плотное подмножество в Q. Пусть последовательность {B1, B2, Вя, ... \ содержит каждый замкнутый шар B1-, центр которого pt принадлежит 5, радиус г,- есть рациональное число и который целиком содержится в некотором из множеств семейства Г. Пусть V1- — открытый шар с центром в р} радиуса /¦,¦/2. Ясно, что Q = (J V1-.
Конструкция, описанная в п. 1.46, позволяет указать такие функции ф^S) [Q), что <р,-^ 0, ф( = 1 в V1 и ф,-=0 вне B1. Положим Op1 = фг и по индукции
'2) Ф,+ і = (1-Фі)..-(1-Ф/)<Р/+і
Очевидно, что яр,- = О вне Bi. Это обеспечивает выполнение условия (а). Соотношение
(3) Фі+.-. 1 — (1—«Pi)-- (1-ф,) тривиально при і—1. Если считать его выполненным для некоторого і, то, складывая (2) и (3), мы получаем, что оно выполняется и с заменой і на /+1. Поэтому (3) справедливо для всех і. Так как ф,= 1 на V1-, то это означает, что
(4) 4J)1U)+ • • • +Vm W = I, если XCV1U ... U Vn.
Тем самым доказано (Ь). Кроме того, если К — компакт, то KaVi (J ¦. - U Vn при некотором т, откуда вытекает (с). Щ
6.21. Теорема. Пусть Г—открытое покрытие открытого множества Qcz R'*. Предположим, что каждому а)? Г сопоставлено распределение Лш ? S)' (со), причем
(1) A10' =ЛМ- в (u'flw", если о' С\ы" ф 0.
Тогда существует в точности одно такое распределение А Є S)' (Q), что
(2) Л-=ЛЫ в о> при каждом (а ? Г.
Доказательство. Пусть {я]),-}—локально конечное разбиение единицы, подчиненное покрытию Г в смысле теоремы 6.20. Сопоставим каждому і множество о^^Г с таким расчетом, чтобы оно содержало носитель функции ар,-.
Если ф ? S) (Q), то ф^-2"Ф«ф- Поскольку ф имеет компактный носитель, в этой сумме только конечное множество ненулевых членов. Положим
OO
(3) лф-= 2лш (яр(.ф).
Ясно, что Л—линейный функционал на S)[Q).
174
часть 2. распределения и преобразование фурье
Покажем, что функционал Л непрерывен. Пусть фу—>-0 в S)(Q). Существует компакт KaQ, содержащий носители всех функций фу. Если т выбрано в соответствии с условием (с) теоремы 6.20, то
т
(4) Лфу- - 2 Л*. (яр,Фу) (/ = 1,2,3,...).
J t=i 1 J
Так как ф(фу—>O в S)(co{) при /—> oo, то из (4) вытекает, что Лфу—> O. Поэтому Л 6 S)' (Q) в силу теоремы 6.6. Чтобы доказать (2), зафиксируем ц> ^S)(Q), Тогда
(5) -ф,ф = fZ>((o,n(о) (i=l,2,3, ...) и A(O4. (-ф(ф) =Л,0 OM) в СИЛУ (О- Поэтому
(G) Аф = 2 Ли (яМ) = Лш (2 *М>) = Лмф,
чем доказано равенство (2).
Таким образом, существование распределения Л установлено. Вместе с тем единственность тривиальна, поскольку, согласно (2) (с заменой оз на со,-), распределение Л обязано удовлетворять условию (3). Ц
Носители распределений
6.22. Определение. Пусть A^S)'(Q). Если со—открытое подмножество в Q и если Аф = 0 для каждого ф ? S) (со), то мы говорим, что распределение А исчезает в со. Пусть W—объединение всех открытых множеств со с Q, в которых распределение Л исчезает. Носителем распределения Л называется дополнение к W (в Q).
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed