Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
lira (/,• * ф) (ж)
существует при каждом (p?<2)(Rn) и каждом x?Rn. Доказать, что тогда для любого мультииндекса а последовательность {?>а (^ * ф)} равномерно сходится на компактных множествах.
24. Пусть H—функция Хевисайда на R, т. е.
если X ^ О,
11 (*, . .
если X > О,
и пусть б — мера Дирака.
X
(a) Показать, что (Н*<р)(х) = ^ q>(s)ds, если ф?®(К).
— со
(b) Показать, что б'*# = б.
(c) Показать, что 1 * б' =0. [Здесь 1 символизирует распределение, соответствующее локально интегрируемой функции со значениями I в каждой точке.}
(d) Ассоциативность свертки нарушается на указанных трех распределениях, поскольку
1 * (6'*//) = ! *6=1,
но
(1 *б') * H = Q* 11 = 0.
25. Имеется еще одна характеристика свертки, аналогичная теореме 6.33. Пусть L — непрерывное линейное отображение пространства в пространство Сто, коммутирующее с операторами Da, т. е.
(a) LD«¦«p = Da Up (Ф€^>).
Тогда существует такое распределение и?із?)', что
Lq> = u*<p (ф^іЙ)). Наводящее соображение. Зафиксируем ф?і2) и положим
h (X) = (t-xLtx4>) (0) = (Lxx(P) (X) (x?R»).
192
часть 2. распределения и преобразование фурье
Пусть De—производная по направлению (этот оператор использовался в доказательстве теоремы 6.30). Показать, что
(Deh) (X) = (DeLxxq>) (X) - (LxxDeq>) (х)
обращается в 0, если выполняется условие (а). Таким образом, h (x)=h (0), откуда следует, что XxL = Lxx. Нельзя ли ослабить предположение, что образ отображения L содержится в С°°?
26. Если /??4(-00, —є)П(є, °°)) при каждом є > 0, то определим главное значение интеграла, полагая (P.V. = Principal Value)
СО f — E СОч
P.V. J \ (X) dx= lim/ ^ + \)f(x)dx, когда предел существует. Для ф ? S)(R) пусть
со
Лф = ^ ф (х) log IX I dx.
— OO
Показать, что
со
Л'ф = Р.У. J ср(х)^,
— со
Л"Ф = -Р.У. J vM-v^dE.
— со
27. Найти все распределения u?S)' (Rn), которые удовлетворяют хотя бы одному из следующих двух условий:
(a) ххи = и для каждого х?R",
(b) Dau = 0 для каждого мультииндекса а, такого, что Ja| = J,
Глава 7 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Основные свойства
7.1. Обозначения, (а) Нормированной мерой Лебега на R" называется мера тп, определяемая равенством
Amn (х) = (2я)-п'Ых.
Множитель (2л)-"/а упрощает формулировки теоремы обращения 7.7 и теоремы Планшереля 7.9. Обычные лебеговы пространства LP > или ?/(R"), будут нормироваться при помощи тп:
nth= {$ і/і"^„)^ (1<р<оо).
R'1
Удобно также несколько видоизменить определение свертки двух функций на R", полагая
(f*g) (х)=1 f(x—y)g(y)dm„{y),
когда интеграл существует.
(b) Для каждой точки t ZR" характер et есть функция вида
et (X) = elt¦х = exp {I {JtxX1 + ... + /„*„)} (X Є R").
Каждый характер et удовлетворяет функциональному уравнению
et (x-hy) = et (х) et (у).
Таким образом, et есть гомоморфизм аддитивной группы R" в мультипликативную группу комплексных чисел, по модулю равных 1.
(c) Преобразованием Фурье функции /^L1 (R") называется функция /, определяемая равенством
Ht)-=] fe.tdm„ (*€RB).
R"
Термин «преобразование Фурье» часто используется также для обозначения отображения, сопоставляющего функции / функцию /,
7 JNTb €71
194
часть 2. распределения и преобразование фурье
Отметим, что
f(t) = (f*et) (0).
(d) Если а—мультииндеке, то
«.-о-^-(тягГ-(тгеГ-
Употребление Da вместо Da упрощает некоторые формулы. Отметим, что
Daet = taet,
где, как и раньше, Iа = /?... tnn. Пусть P—полином от п переменных с комплексными коэффициентами, скажем
я (Б)=2^=2^6?1 ...6"».
Тогда дифференциальные операторы P(D) и Р(—D), по определению, суть
/5W=S^A*. /4-^)=2(-1)1"1^.
Из определения вытекает, что
P{D)et = P(t)et (/6R").
(e) Оператор сдвига тх, как и раньте, задается равенством
Ы)(У) = !(У-Х) (*, i/€R")-
7.2. Теорема. Пусть f, g ? (R") и * € Rw. Тогда
(a) (TJr = «?-/;
(b) (ejy^Tj;
(О (?) ~ = f g;
(d) если Я>0 w h(x) = f[x/l), то H[I) = ^f [Xt). Доказательство. Из определений вытекает, что WHO= \ ^J)-e-t=\f'T_xe.t = \f-e_t[x)e_t=e_x[i)f(t)
и
(ej)~ (0 = J exfe_t = S fe_a_x) = (Tj) (0.
Применяя теорему Фубини, получаем (с). Чтобы доказать (d), до-статочно сделать линейную замену переменных в определении /. Ц
7.3. Быстро убывающие функции. Это наименование употребляется иногда по отношению к тем функциям / € С00 (R"), для которых
<1) sup sup (1+1 x\*)»\{Daf)(x) |< оо
при JV = 0, 1, 2, ... . [Напомним, что |*|а = 2*/«] Другими словами, требование состоит в том, что для каждого полинома P и каждого мультииндекса а функция P-Daf является ограниченной
гл. 7. преобразование фурье 195
7*
на R". Так как это верно с заменой полинома P (х) на (\-{-\х\2)^Р(х)у то отсюда вытекает, что любая из функций P-Daf содержится в 1} (R").
Все такие функции образуют векторное пространство, обозначаемое через $п. Счетный набор норм (1) задает в этом пространстве локально выпуклую топологию, как описано в теореме 1.37.
Ясно, что (R")de?5,,.
7.4. Теорема, (a) of п является пространством Фреше.
(b) Если P—произвольный полином, g?ofn и а—любой муль-тииндекс, то каждое из следующих трех отображений
