Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
6.2. Пространство S (Q). Рассмотрим непустое открытое множество Qa R". Для каждого компакта /Cc= Q пусть S^— пространство Фреше, описанное в п. 1.46. Пространство S) (Q) пробных функций является объединением всех S)д, когда К пробегает совокупность всех компактных подмножеств множества Q. Ясно, что S(Q) есть векторное пространство относительно обычного сложения комплексных функций и умножения их на скаляры. Точнее говоря, ф? S (Q) тогда и только тогда, когда <р€С°°(&) и носитель функции ф есть компактное подмножество в Q.
Для функций ф ? S) (Q) введем последовательность норм
(1) К ф IU-max {I D°4p (х) \: x?Q, |a|<tf},
где N = 0, 1,2, ...; определение символов Da и |а| см. в п. 1.46.
Сужение этих норм на каждое из подпространств S)Ka S (Q) порождает на Sk, ту же топологию, что и полунормы pN из п. 1.46. Чтобы убедиться в этом, заметим, что каждому компакту Ka Q соответствует такой индекс N0, что Ka Kn при всех N ^ Af0. Для таких N имеем IMLv=РлКф)» если ф€^>#- Поскольку
(2) IMLOMU+i и МфХ^-мСф),
рассматриваемые топологии не меняются, если индекс N пробегает значения не от 1, а от N0. Поэтому на S)к обе топологии совпадают. Локальную базу (окрестностей нуля) образуют множества
(3) ^=|Ф6^ 1М1*<4-} (^=1.2,3,...).
Те же нормы (1) можно использовать для введения на всем S(Q) некоторой локально выпуклой метризуемой топологии (см. теорему 1.37 и утверждение (с) п. 1.38). Однако эта топология неудобна, поскольку не является полной. Действительно, пусть, например, п=\ и Q = R. Рассмотрим такую функцию ф€S)(R) с носителем [О, 1], для которой ф > О на (О, 1), и положим
(*) = ф С*— 1) + \ Ф (X—2) -f ... + ~ ф (х—т).
Тогда {tym\ есть последовательность Коши в рассматриваемой топологии пространства S(R), но limipA не входит в S(R), поскольку носитель предельной функции не компактен.
Теперь мы определим на S(Q) другую локально выпуклую топологию т, в которой все последовательности Коши будут CXO-
6 JYe ^871
162
часть 2. распределения и преобразование фурье
дящимися. Тот факт, что она не метризуема, не создает (как мы увидим ниже) больших неудобств.
6.3. Определения. Пусть Q— непустое открытое множество в Rw.
(a) Для каждого компакта /Cc= Q через хк обозначим топологию пространства Фреше на @)К1 описанную в п. 1.46 и 6.2.
(b) ? есть семейство всех выпуклых уравновешенных множеств Wcz S)(Q)1 для которых eDKC\Wcz тк при любом компакте KaQ.
(c) т есть семейство всевозможных объединений множеств вида <p + W, где срЄ^ЧЙ) и rg?1).
На протяжении всей этой главы символ К обозначает компактное подмножество в Q.
6.4. Теорема, (а) т есть топология в S)(Q)1 а ?—ее локальная база.
(Ь) т превращает <@ (Q) в локально выпуклое топологическое векторное пространство.
Доказательство. Пусть V1^t1 V2 ? т и ф (E Л Для доказательства утверждения (а), очевидно, достаточно установить, что
(1) v + WcVtnVt
при некотором ??.
Согласно определению семейства т, существуют такие ф,- (E (Q) и W7; 6 ?, что
(2) ф^ф. + и^сК, 0'-1,2).
Выберем компакт К с таким расчетом, чтобы пространство ?DK содержало функции q>lt ф2 и ф. Так как ?DK[)Wt открыто в @)к, то при подходящих б і > О
(3) ф_ф.?(1_6.)У7,, Ввиду выпуклости множеств W1 это дает
(4) ф-ф. + б^с= (1-6,)^ + 6^. = ^, так что
(5) ф + б^сф+^сК, (/ = 1,2).
г) В следующих ниже теоремах 6.4 и 6.5 устанавливается, что т есть топология на u?)(Q), и выясняются некоторые ее свойства. Мы рекомендуем читателю уже сейчас обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Если {хт\ — последовательность точек из Q, не имеющая в Q предельных точек, a E1n > О, то множество {ср: \ц>(хт) \ < ет\ принадлежит семейству ?, т. е. является окрестностью нуля. Этим топология т существенно отличается •от рассмотренной в п. 6.2 и от ряда других естественных топологий пространств функций (здесь уместно рассмотреть HCCKOvIbKo примеров). В частности, именно ввиду данного свойства последовательности Коши (ограниченные множества) в топологии т оказываются сосредоточенными па общем компакте, что в конечном счете и обеспечивает их сходимость (теорема 6.5).—Прим. ред.
гл. 6. пробные функции и распределения 163
6*
Следовательно, соотношение (1) выполняется с W = (o\W\) П (?oWj), и утверждение (а) доказано.
Предположим далее, что <рх и ср2—различные элементы из S) (Q), и пусть
(6) W = {ф(Е<2>(Q): ||ф||о<||Ф,-Ф.У,
где Il Ф Но—норма, определенная формулой (1) из п. 6.2. Тогда WGp* причем Cp1 не содержится в Cp2+и7. Это означает, что одноточечное множество jcp1} замкнуто в топологии т.
Сложение т-непрерывно, поскольку ввиду выпуклости каждого из множеств W G ? имеем
(7) +^) + (ф. + Y ^ ) = (*i + + Г
для любых ^gS)(Q), яр2 ? <0 (Q).
Переходя к умножению на скаляры, фиксируем некоторую константу а0 и элемент (р0 G S) (Q). Тогда
(8) есер—а0ср0 = а (ф — ф0) -|- (а—а0) ср0.
Для любого W G? существует такое 6 > 0, что ocp0? — W7. Выберем с так, чтобы выполнялось соотношение 2с(|а01+ 6) = 1. Так как множество W выпукло и уравновешено, то
(9) «ф—а0ф0?
если I а—а01 < б и ф — W0GcW. Тем самым доказательство полностью завершено. Ц
