Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
J / (0 du (O = J/ (sf) ац (O=JFJ/ («О Ф (Ol dm (s) =
g G G Lg
= J FJ /(s0 dm (s)l Ju(O = J FJ f(s)dm(s)
Gl-g j G lg
= (s) dm (s).
du (t) =--
Так как меры ц, и т регулярны, а / — любая непрерывная функция на G, то отсюда следует, что ц — т. После этого можно доказать (3), как это сделано в тексте. Другой способ доказательства единственности левоин-вариантной меры (который, возможно, ближе к замыслу автора) состоит в том,
что интеграл J/dfi по такой мере можно равномерно аппроксимировать
выпуклыми комбинациями левых сдвигов функции / (например, с помощью сумм Римана).— Прим. перев.
гл. 5. некоторые приложения
151
Начнем с обзора некоторых связей между дополняемыми подпространствами и проекторами.
5.15. Проекторы. Пусть X— векторное пространство. Линейное отображение Р: X—>Х называется проектором в пространстве Xy если
т. е. если P (Px) = Px для всякого X ? X.
Пусть P — проектор в X с ядром Q)Y(P) и образом Sd(P). Следующие факты почти очевидны:
(a) Zl(P)=Jf (1—Р) = {х<=Х: Рх = х\\
(b) off (P) = 5? (/ — P);
(c) Я (P) П Jf (P) = {0} и X = 5? (P)+ off (P);
(d) если А и В—такие подпространства в X, что Аг\Б = {0} и Х = А-{-В, то в X существует единственный проектор P1 для которого A = M(P) и ? = X(P).
Так как (/ — P) P = 0, то .? (P) с= Jf (I — P). Если х 6 Jf (/ — P), то А' — Px = 0, так что х = Px ? 5? (P). Это доказывает равенство (а); утверждение (Ь) получается применением (а) к проектору / — Р. Если X 6 5? (P) П oV (P) у то х = Рх = 0; всякий вектор х?Х представим в виде х = Рх-]-(х—Px), причем X—Px?jf (P); этим доказано утверждение (с). Если подпространства А и В удовлетворяют условиям утверждения (d), то каждый вектор х ? X единственным способом представляется в виде х = х'-{-х", где х' ? А и х"?В. Положим Px = х'. Тривиальная проверка показывает, что P обладает нужными свойствами.
5.16. Теорема, (а) Если P—непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то
x = 5i(P)(B<№(P).
(Ь) Обратно, если X является F-пространством и X = AQ1B9 то проектор P с образом А и ядром В непрерывен.
Напомним, что мы пользуемся обозначением X = AQ)B лишь в том случае, когда А и В—замкнутые подпространства X, причем А-\-В = Х и А(]В={0}.
Доказательство. Так как операторы P и / — P непрерывны, то подпространства (P) и Zl(P)=^Jf(I— P) замкнуты; поэтому утверждение (а) следует из утверждения (с) п. 5.15.
Чтобы доказать (Ь), достаточно проверить, что проектор P удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике. Пусть Xn—*х и Pxn—>у. Так как Pxn ? А, а подпространство А замкнуто, то у? А, и потому у = Py. Аналогично х„ — Pxn^ В, подпространство В замкнуто, так что х—у?В, и потому Py = Px.
152 часть 1 общая теория
Таким образом, у = Px. Следовательно, проектор P непрерывен. ¦
Следствие. Замкнутое подпространство F-пространства X тогда и только тогда дополняемо в X, когда оно является образом некоторого непрерывного в X проектора.
5.17. Группы линейных операторов. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: каждому элементу s G G сопоставлен непрерывный линейный оператор Ts: X—>Х, причем
Te = h Tst T3T1 {SGG t t GG)
и отображение (s, х)—*Tsx прямого произведения GxX в пространство X непрерывно.
В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.
5.18. Теорема. Пусть Y—дополняемое подпространство пространства Фреше X, и пусть компактная группа G непрерывно и линейно действует на пространстве X, причем T3 (Y) cz Y для всех s GG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства X на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Ts.
Доказательство. Для простоты будем вместо Tsx писать sx. По утверждению (Ь) теоремы 5.16 существует непрерывный проектор P пространства X на подпространство Y. Искомый проектор Q должен удовлетворять условию s-1Qs = Q для всех sGG. Идея доказательства состоит в том, чтобы получить проектор Q усреднением операторной функции s—> s-1Ps по мере Хаара dm (s) на группе G. Положим
<1) Qx=^s-1 Psx dm (s) {xGX).
G *
Чтобы доказать, что этот интеграл (понимаемый в смысле определения 3.26) существует, достаточно в силу теоремы 3.27 показать, что функция fx: G—> X, определенная формулой
(2) fx (s) = s-1PsA- (s GG),
непрерывна. Фиксируем s0 G G; пусть U—окрестность точки [х (S0) в X. Положим у = Ps0X, так что
(3) So^ = fx (S0).
Так как отображение (s, z) —> sz предполагается непрерывным, то существуют такие окрестности V1 и W точек S0GG и уGX соот-
гл. 5. некоторые приложения
153
ветственно, что
(4)
S-1 (W) с U для всех S(EV1.
Кроме того, поскольку проектор P непрерывен, найдется такая окрестность V2 точки S0, что
Если SgV1DV2, то из (2), (4) и (5) следует, что fx (s) Z U. Таким образом, функция fx непрерывна.
Поскольку группа G компактна, образ каждой из функций fx является компактным подмножеством пространства X. Поэтому из теоремы Банаха—Штейнгауза 2.6 следует, что семейство линейных операторов {s-1Ps: SgG} равностепенно непрерывно в пространстве X. Поэтому для любой выпуклой окрестности нуля U, найдется такая окрестность нуля U2, что s-1 Ps (U2) с U1 при всех s ? G. Так как окрестность U1 выпукла, то из формулы (1), определяющей оператор Q, следует, что Q (U2) cz U1 (см. теорему 3.27). Поэтому оператор Q непрерывен. Линейность его-очевидна.
