Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
5.14. Теорема. На всякой компактной группе G существует единственная регулярная вероятностная борелевская мера т, левоинвариантная в том смысле, что
(1) dm = $ (LJ) dm (SGCfGC(G)).
g g
148
часть 1. общая теория
Эта мера т также правоинвариантна, т. е.
(2) ^f dm = ^ (RJ) dm (s?G, f GC(G)).
G G
и удовлетворяет условию
(3) I f (к) dm {X) = If (x-i) dm (х) (f?C (G)).
G G
Такая мера т называется мерой Хаара на группе G.
Доказательство. Операторы Ls удовлетворяют соотношению L5L1 = Lts(s?G, tGG), поскольку
(LsLtf) (X) = (LJ) (sx) = f (tsx) = (LJ) (х).
Так как каждый из операторов является изометрией пространства C(G) на себя, то \LS: sG G} — равностепенно непрерывная группа линейных операторов в C(G). Для каждой функции f GC(G) обозначим через К/ замыкание множества HL(f). По теореме 5.13 множествоKf компактно. Очевидно, что L5(Kf) cz К/ для всякого s GG. Поэтому из теоремы о неподвижной точке 5.11 следует, что в множестве Kf существует такая функция ср, что ?уФ — ф для всех s?G. В частности, <$(s) = <$(e), так что функция ф постоянна на G. Так как Kf есть замыкание HL(f), то эта постоянная ф может быть аппроксимирована равномерно на G функциями из HL(f).
Таким образом, мы доказали, что для каждой функции f GC(G) существует по меньшей мере одна постоянная с, которая может быть равномерно на G аппроксимирована выпуклыми комбинациями левых сдвигов функции Точно так же доказывается существование постоянной с', находящейся в таком же отношении к правым сдвигам функции /. Мы утверждаем, что с = с'.
Чтобы доказать это, фиксируем некоторое е > 0. Существуют такие конечные подмножества Ja1}, {bj\ группы G и такие поло-жительные числа ah ?y, что 2а/ — І» 2?/=l»
(4) с—2arf(fl/*)|<e (x^G) и
(5) Wff (xbj) <є (X GG).
Положим x = bj в неравенстве (4); умножая получившееся неравенство на ?y и суммируя по всем /, получим
(6) \c-^iPff(aibj)^<b.
Аналогично, полагая в (5) x = aif умножая на ai и суммируя по>
гл. 5. некоторые приложения
149
всем /, получим
(7) |c'-2^?/W|<e-
Из (6) и (7) следует, что с = с'.
Из доказанного видно, что для каждой функции f ^C (G) существует единственное число Mf, которое может быть равномерно аппроксимировано выпуклыми комбинациями левых сдвигов функции /, и что то же самое число Mf является единственным числом, допускающим равномерную аппроксимацию выпуклыми комбинациями правых сдвигов функции /. Очевидно, что построенный функционал M на C(G) обладает следующими свойствами:
(S) Mf ^ 0, если />0;
(9) Ml = I;
(10) M (af)~aMf для любого скаляра а\
(11) M (LJ)=Mf = M(RJ) для всякого s?G.
Теперь мы докажем, что
(12) M(f+g) = Mf + Mg. Фиксируем є > 0. Тогда
(13) |М/—^а,-/(а,*)|<е (X?G)
для некоторого конечного множества {о,} со и некоторых чисел а,-> 0, таких, что 2ai~l- Положим
(14) H(X) = ^g(Ct1X).
і
Тогда h^Kg, и потому Kh <^Kg, а так как каждое из этих множеств содержит единственную постоянную функцию, то Mh = Mg. Поэтому найдутся такое конечное множество {Ьу\ с: G и такие числа ?7>0, где 2?/=1» что
(15) j Mg—^/i (bjx) j < е (X ? G),
откуда, учитывая (14), получаем
(16) I Mg—2«?? (afifx) I < е (X Є G). I t. / I
Заменяя X на bfx в неравенстве (13), умножая результат на ?y и суммируя по всем /, получим неравенство
(17) \Mf—^iafiJf(aibjX)\<e (x?G). Таким образом,
(18) I Mf + Mg-^a$j (f+g) {O1OjX) I < 2e (x? G). I «¦ і I
Поскольку 2«,?=!, из (18) следует (12).
150
часть 1. общая теория
Соотношения (8), (9), (10) и (12) показывают, что Ж —положительный линейный функционал на C(G). Поэтому из теоремы Рисса следует существование единственной регулярной вероятностной борелевской меры т на G, для которой
(19) Mf = If dm (fGC (G));
С
свойства (1) и (2) следуют из (11). Чтобы доказать (3), обозначим правую часть этого соотношения через M'f и заметим, что функционал M' также обладает свойствами (8) — (12); поэтому M' = M и теорема доказана *). Щ
Недополняемые подпространства
Свойство дополняемости подпространства топологического векторного пространства было определено в п. 4.20; лемма 4.21 доставляет некоторые примеры дополняемых подпространств. Нетрудно убедиться в том, что каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства дополняемо (теорема 12.4). Теперь мы покажем, что некоторые хорошо известные замкнутые подпространства некоторых других банаховых пространств недополняемы. Недополняемость будет установлена с помощью одной довольно общей теоремы о компактных группах операторов, имеющих общее инвариантное подпространство; доказательство этой теоремы использует интегрирование векторных функций по мере Хаара.
*) В действительности единственность левоипвариантной меры (а вместе с ней и свойство (3)) осталась недоказанной. Доказательство можно закончить, например, следующим образом. Пусть ц— регулярная вероятностная борелевская левоинвариаптная мера на О. Пусть /?С (G); легко видеть, что функция F (st) непрерывна на GxG. Применяя к ней теорему Фубини и учитывая, что и. левоинвариантна, а т, как доказано в тексте, правоинвариантна, имеем
