Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что формула (4) определяет отображение <p: P—»¦ К (вещест-
венная часть ядра g(z, e<o)=——J— совпадает с ядром Пуассона в U и по-
ложительна). Если U1, ,U2? P и ф (U1) = ф ((.I2), то, разлагая g (z, е1'е) в ряд Тейлора по z и учитывая, что мера O = JX1 — и,2 вещественна, получаем, что
е-'"ydo = 0 для всех целых п; так как тригонометрические полиномы
СІЮ, что
плотны в C(T), то о = 0, т. е. отображение ф ипъекгивно. Сюръективность ф составляет содержание так называемой теоремы Герглотца и доказывается, например, так. Пусть F?K и u(z) = ReF(z). При 0<р< 1 для всякого
борелевского множества E cz T положим |лр (E) = J и (реів) dB. Я
E
jiip — положительная борелевская мера на T, причем || и,р || = up (T) = и (0) = 1
(именно здесь мы воспользовались обоими условиями (1)). Пусть Q, (О < г < 1) — слабое* замыкание множества Qr = {up: г < р < 1]. Тогда
\Qr\ — центрированная система слабо* замкнутых подмножеств замкнутого единичного шара в C(T)*, и из теоремы Банаха — Ллаоглу следует, что
существует мера |x?n. Qr. Фиксируем z??/ и є > 0. Хорошо известно,
0<л<1
что при 0 < р < 1
л
(а) F (рг)^~ J g(z, e/o) и (pe«) do
-л
гл. 5. некоторые приложения
143
Определим отображение Л: M(T)—>C", полагая
(5) An = (F11(z1), F11(Zn)).
Так как множество E по предположению непусто, то существует такая мера j.i0 ? Р, что
(6) AH-o = ? = (?i. .... ?„).
Множество P выпукло и слабо* компактно, а отображение Л линейно и слабо* непрерывно; поэтому Л (P) является выпуклым компактным множеством в С" = R2". Так как ??A(P), то ? является выпуклой комбинацией N ^ 2/2+1 крайних точек множества A(P) (см. упр. 19 гл. 3). Если у—крайняя точка множества Л (Я), то Л-1 (у) — крайнее подмножество множества Р, и каждая крайняя точка множества Л-1 (у) (существование их следует из теоремы Крейна—Мильмана) является крайней и для Р. Отсюда следует, что существуют такие крайние точки ци ..., (Ид/ множества P и такие положительные числа C1, ..., cN, что 2>ск = \ и
(7) А (С, ,Ll1 + ... + CnIXn) = ?.
Каждая из мер (?, встречающихся в формуле (7), будучи крайней точкой множества Р, имеет носитель, состоящий из единственной точки ak ? Т; поэтому
(8)
Если определить теперь функцию F равенством (3), то из (7) и (8) следует, что эта функция удовлетворяет условиям (1) и (2). -
Одна теорема о неподвижной точке
Теоремы о неподвижной точке играют важную роль во многих разделах анализа и топологии. Теорема, которую мы здесь докажем, принадлежит Какутани; мы воспользуемся ею для до-
(достаточно сравнить коэффициенты Тейлора левой и правой частей). Выберем такое г, что при г < р < 1
(Ь) \F(pz)-F(z)\<e.
(
я
Так как u?Qr, a V=\\?C(T)*:
стность нуля в С (T)*, то существует такое р, что г < р < 1 и М-рЄр+V, т. с.
-я
< є J- —слабая* окре-
(с)
л
J g(z, ^fO)-JL J g{Zf с»Є)„(ре№)
dQ
< є.
- Я —л
Так как z ? U и є > 0 выбраны произвольно, то из (а), (Ь) и (с) следует, что <р ((*) = ? (то, что \і ? Р, — очевидно).—Прим. перев.
144
часть i. общая теория
казательства существования на любой компактной группе меры Хаара. При доказательстве теоремы Какутани привлекаются лишь самые основные свойства локально выпуклых пространств.
5.11. Теорема. Предположим, что
(a) К—непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства X,
(b) G—равностепенно непрерывная группа линейных отображений пространства X на себя,
(c) Л (/С) с К для всякого A?G.
Тогда группа G имеет общую неподвижную точку в К, т. е. существует такая точка р ? К, что Ap = р для всех А Є G.
Условие (Ь) стоит, вероятно, сформулировать более явным образом. Равностепенная непрерывность определена в п. 2.3. Говоря, что G — группа, мы подразумеваем под этим, что каждый оператор А ? G взаимно однозначно отображает X на X, причем обратный к нему оператор Л-1 тоже принадлежит G, и что если Л, € G и A2 Є G, то A1A2 ? G. Здесь, конечно, (A1A2) х = = Аг(А„х). Условие (Ь) выполняется, например, если G есть группа линейных изометрий нормированного пространства X.
Доказательство. Пусть Q—совокупность всех таких непустых компактных выпуклых множеств H cz /С, для которых Л [H) cz H при всех Л ? G. Упорядочим Q по включению. Заметим, что І2Ф 0, ибо К?Q. По теореме Хаусдорфа Q содержит максимальное линейно упорядоченное подсемейство Q0. Пересечение H0 всех множеств, принадлежащих Q0, является минимальным элементом в Q. Теорема будет доказана, если мы покажем, что H0 содержит лишь одну точку. Чтобы сделать это, мы рассмотрим множество H ? Q» содержащее по меньшей мере две точки, її докажем, что некоторое множество H1^Q является собственным подмножеством в Н.
Сначала мы покажем, что в пространстве X существует локальная база, состоящая из открытых выпуклых уравновешенных множеств U, удовлетворяющих условию A[U)CiU для всех A^G.
Пусть V — выпуклая окрестность нуля в X. Так как группа О равностепенно непрерывна, то существует такая уравновешенная окрестность нуля V1, что A(V1)CiV для всех Л ? G. Пусть U — выпуклая оболочка объединения множеств A(V1) по всем A^G. Тогда множество U выпукло и уравновешено, причем U а V, поскольку V выпукло. Каждый вектор и ? U имеет вид
