Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 51

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 171 >> Следующая

(a) Описать явно два изометрических изоморфизма и и v, отображающих
соответственно с* на Iх и с„ на /1.
(b) Определим оператор S: C0—у с, полагая S*=.*;. Описать оператор vS*u~\ отображающий Iі в Iі.
(c) Определим оператор Т: с—»-c0» полагая Тх = у,
!Zi = X00, Iz11+1 = Xn-X00 для п 1.
Доказать, что этот оператор биективен. Найти || T || и HT-1H. Описать оператор uT*v~x, отображающий Iі в Iі.
Глава 5 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Теорема о непрерывности
Одна из самых ранних теорем функционального анализа (Хеллингер и Теплиц, 1910) утверждает, что если линейный оператор T в гильбертовом пространстве H симметричен, т. е.
(Tx1 у) = (X1 Ту)
для всех х?Н и у?H1 то он непрерывен. Здесь, как обычно, (X1 у) обозначает скалярное произведение, задающее в H структуру гильбертова пространства (см. п. 12.1).
Если последовательность {хп\ в H такова что \\хп\\—> O, то из симметричности оператора T следует, что Txn—>O слабо. [Доказательство этого утверждения опирается на известное описание непрерывных линейных функционалов на И: каждый такой функционал Л однозначно представим в виде Ах — (х, уА), где У а € П.] Поэтому теорема Хеллингера — Теплица вытекает из следующей теоремы.
5.1. Теорема. Пусть XuY суть F-пространства, причем Y* разделяет точки в Y, и пусть Т: X—*Y—такой линейный оператор, что ATxn—»-0 для каждой последовательности Xn—>O и каждого функционала A?Y*. Тогда оператор T непрерывен.
Доказательство. Допустим, что Xn—>х к Txn—»у. Если A^Y*, то
AT (Xn-X)-^O,
так что
Ay = UmATxn =АТх.
Следовательно, у = Тх, и можно применить теорему о замкнутом графике. Щ
Для банаховых пространств теорему 5.1 можно сформулиро-
вать так: если оператор Т: X—*Y линеен и из \ что Txn —*¦ 0 слабо, то в действительности из \ ¦что Ц7ХЦ-+0.
X.
0 следует, 0 следует^
гл. 5. некоторые приложения 133
Чтобы убедиться в существенности условия полноты, рассмотрим в качестве X пространство всех комплексных полиномов /, для которых /(0)=/(1)=0, положим
(/, g) = lfg. \\f\\ = (f, пш
о
и определим линейный оператор Т: Х—*Х формулой (Tf)(x)=if'(x). Тогда (Tf,g) = (f, Tg)1 но оператор Гне является непрерывным.
Замкнутые подпространства в пространствах LP
Доказательство следующей теоремы Гротендика также опирается на теорему о замкнутом графике.
5.2. Теорема. Пусть р—вероятностная мера на пространстве Qt 0 < р < со и S—такое замкнутое подпространство пространства Lp(^)1 что ScL00 (ц.). Тогда подпространство S ко-.нечномерно.
Доказательство. Подпространство 5 замкнуто в LP и потому полно относительно //-топологии. Пусть /—тождественное вложение 5 в L00. Если {/„}—такая последовательность в S, что /„—*\ в 5 и /„—>g в L00, то ясно, что f=g почти всюду. Следовательно, оператор / удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике, и мы заключаем, что существует такая постоянная /(<оо, что
(1) 1Ш1.<*11Л1я
для всех f?S. Здесь, как обычно, || / \\р = Q | / \Pd\CylP, а |) /1|» —
•существенная верхняя грань |/|. Если р^2, то || / ||я ^ || / ||а. Если же 2 < р < со, то, интегрируя неравенство
I/г* ^11/1IST1I/Iі
и учитывая (1), получаем, что ||/1|« <Д"р/а||/IU Таким образом, в любом случае существует такая постоянная M < со, что
(2) Il / IU < ^||/||я (feS).
В оставшейся части доказательства мы будем иметь дело ¦с индивидуальными функциями, а не с классами эквивалентности по модулю множеств меры 0.
Пусть Jq)1.....фл} — ортонормальное множество в 5, рассматриваемом как подпространство в ZA Пусть Q—счетное всюду 'плотное подмножество евклидова единичного шара В в С". Для всякого C = (C11 ...,Cn)GB положим /^ = 2сіФі'- Тогда ||fe||2^l, так что И/с IU ^ Af- Так как Q счетно, то найдется такое измеримое множество &'с?2, что p(Q') = l и \fc(x)\^.M для всех
134 часть i. общая теория
c?Q к всех x?Q'. При фиксированном х функция с—>\fc(x)l непрерывна на В. Поэтому \fc(x)\^M для всех с?В и всех x?Q'. Отсюда следует, что j>jIФ/ (х) I2 ^M2 для всякого x?Q'. Интегрируя это неравенство, получаем, что п^М'1. Таким образом, dim 5 < M2. Щ
Существенно, что в условиях доказанной теоремы фигурирует именно пространство L00. Чтобы проиллюстрировать это, мы построим сейчас бесконечномерное замкнутое подпространство пространства L1, содержащееся в ZA В качестве пространства с мерой мы возьмем единичную окружность с нормированной мерой Лебега.
5.3. Теорема. Пусть E—такое бесконечное множество целых чисел, что ни одно целое число не может быть более чем одним способом представлено в виде суммы двух чисел из Е. Обозначим через РЕ векторное пространство всех конечных сумм вида
со
(1) 2 cWeCne*
П— — 00
для которых с(п) = 0 при всех п^Е, и пусть Sc—замыкание РЕ в L1. Тогда Sn является замкнутым подпространством в /Л
Примером такого множества E может служить множество {2k\, k = 1, 2, 3, ... . Возможны также примеры с более медленным ростом.
Доказательство. Если функция / имеет вид (1), то f2(eie) = ^c(n)2e2in() + 2 с(п)с(т)еЧп+т>в.
п пфт
Из арифметического условия, наложенного на Е, следует, что ПЛ4^П/2|2 = 2Ия)|* + 4 2 \с{т)\*\с{п)\\
J J п т<п
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed