Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
<12) sup I / (0) К sup I Re / (Є) I
е є
для всех /? А, удовлетворяющих условию /|е=0 = 0. Однако такой постоянной не существует, в чем можно убедиться, рассматривая конформные отображения замкнутого единичного диска на высокие узкие эллипсы.
Следовательно, подпространство А недополняемо в С.
Однако если 1 < р < оо, то существует непрерывный проектор Q пространства W на подпространство Нр, удовлетворяющий условию (8). Таким образом, при 1 < р < оо подпространство Нр дополняемо в W. Это утверждение составляет содержание теоремы М. Рисса (см. [27, теорема 17.26] или [12, стр. 215]).
В заключение приведем один результат, аналогичный утверждению (Ь) теоремы 5.16; мы воспользуемся им при доказательстве теоремы 11.31.
5.20. Теорема. Пусть AuB—такие замкнутые подпространства банахова пространства X, что Х = А-{-В. Тогда существует такая постоянная у < со, что каждый вектор х?Х допускает представление в виде х = а-\-Ь, где a?At b?B и \\а]\-{-\\Ь\\^.у\\х\1.
Условия этой теоремы отличаются от условий теоремы 5.16 (Ь), поскольку здесь не предполагается, что Af]B = [O}.
Доказательство. Пусть Y — векторное пространство всех упорядоченных пар (a, b)(a?A, Ь?В) с покомпонентным сложением и умножением на скаляры и с нормой
IKa1 ft)|| = |M| + ||fc||.
Так как пространства А и В полны, то Y является банаховым пространством. Отображение Л: Y—>Х, определенное формулой
A [a, b) = a + b,
сюръективно, линейно и непрерывно, поскольку Il a-\-b Il ^ Л (а, Ь) ||. По теореме об открытом отображении существует такая постоянная y<°°» что каждый вектор х?Х является образом при отображении Л некоторого элемента (а, Ь) У, для которого || (а, Ь) ||
<vll*l|. ¦
Упражнения
1. Пусть H1, (X2 — меры на единичной окружности, определенные равенствами
d\ix = cos 8 dB, d[i2 = sin 0 d0. Найти множество значений векторной меры р. = (Ці, Цг)-
2. Построить две функции / и g на отрезке [О, 1], обладающие таким свойством: если
dm = І (х) dx и d\i2 = g (х) dx,
гл. 5. некоторые приложения
157
то множество значений векторной меры [X = (H1, (X2) есть квадрат с вершинами в точках (1, 0), (0, 1), (—1, 0) и (0, —1).
3. Предположим, что выполняются условия теоремы 5.9, и пусть ф?С (S), <Р> 0, ggC (К) и |g| < ф|^\ Доказать, что существует такая функция /?К, для которой / g и I / I < ф на S. Указание: примените теорему 5.9 к пространству всех функций вида //ф, где f?Y.
4. Доказать, что носитель каждой крайней точки множества P (см. теорему 5.10) состоит из единственной точки (этим фактом мы воспользовались в конце доказательства теоремы 5.10).
5. Сформулировать и доказать аналоги теорем 1.10—1.12, упоминавшиеся с п. 5.12 (не предполагая, что группа G коммутативна).
6. Пусть G— топологическая группа, a H—максимальное связное подмножество в G, содержащее единичный элемент. Доказать, что И является нормальным делителем группы G, т.е. такой подгруппой, что х~х Hx = И для всех x?G. Указание: если А и В—связные подмножества группы G, то множества А-1 и AB тоже связны.
7. Доказать, что всякая открытая подгруппа топологической группы замкнута (обратное, очевидно, неверно).
8. Пусть т—мера Хаара на компактной группе G, а V — непустое открытое множество в G. Доказать, что т (V) > 0.
9. Рассмотрим функции еп = еіп® как элементы пространства L2 относительно меры Лебега на единичной окружности. Пусть А — наименьшее замкнутое подпространство в L2, содержащее все функции е„ с n^O, a В — наименьшее замкнутое подпространство в L2, содержащее все функции e~,i'\-nen с л^sI. Доказать следующие утверждения:
(b) подпространство X = А -\-В всюду плотно в L2, но не совпадает с L2;
(c) хотя X = AQB, проектор пространства X на подпространство A1 имеющий своим ядром подпространство В, не непрерывен (разумеется, в X рассматривается топология, индуцированная /,2-нормой; ср. с теоремой 5.16).
10. Пусть X — банахово пространство, Р?<$(Х), Q^cSJ(X), причем P и Q— проекторы.
(a) Показать, что сопряженный к P оператор Р* является проектором в пространстве X*.
(b) Показать, что если PQ = QP и P ф Q, то \\P — Q\\^\.
11. Пусть P и Q — проекторы в векторном пространстве X.
(а) Доказать, что оператор P +Q является проектором тогда и только тогда, когда PQ = QP =0. Если последние условия выполняются, то
(Ь) Доказать, что если PQ = QP, то оператор PQ является проектором и
(с) Какие выводы относительно утверждения (Ь) можно сделать, рассматривая матрицы
(а) Af)B = {0};
off (P + Q)=J\T(P)njf (Q),
m(p+Q)=m(P)+9t(Q).
fh (P) Л M (Q)={о}.
off (PQ)=Jf (P)+<N(Q)>
158
часть 1. общая теория
12. Доказать, что группа операторов Ту, участвующая в примере 5.19, непрерывно действует на пространстве Ь.1 (в смысле определения п. 5.17). Иными словами, доказать, что
Il Trg-xJ U1^O,
если r-^sng^feL1.
13. Используя следующий пример, показать, что условие компактности группы G существенно для справедливости теоремы 5.18. Возьмем в качестве X пространство L1 относительно меры Лебега на вещественной оси R; подпространство Y пусть состоит из всех тех функций f?Llt для которых
