Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 53

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 171 >> Следующая

Например, если S—компактное подмножество в С и Л состоит из всех функций f?C(S), голоморфных во внутренних точках S, то каждая связная компонента внутренности 5 является множеством антисимметрии относительно А.
Пусть Ас:С (S), p?S, q?S; положим p~q, если существует множество антисимметрии E (относигелыю А), содержащее обе точки р и q. Легко проверить, что этим определено отношение эквивалентности в S и чго классы эквивалентности замкнуты в S. Ясно также, что классы эквивалентности являются максимальными множествами антисимметрии относительно А.
5.7. Теорема Бишопа. Пусть А — замкнутая подалгебра в C(S), содержащая все постоянные функции. Если g ^C(S) и g\Е ?АЕ для каждого максимального множества антисимметрии Е, то g? А.
Иными словами, если функция g^C(S) такова, что для всякого множества антисимметрии E (относительно А) найдется функция fE?A, совпадающая с g на Е, то существует единая функция f?A, совпадающая с g на каждом E (а именно f — g).
Частным случаем теоремы Бишопа является теорема Стоуна — Вейерштрасса:
Пусть А —замкнутая подалгебра в С (S), содержащая все постоянные и разделяющая точки в S. Если алгебра А симметрична (т. е. из [Є.А следует, что f?A), то A=C(S).
Действительно, в этом случае вещественные функции из А разделяют точки в S. Поэтому всякое множество антисимметрии одноточечно, так что каждая функция g ^C(S) удовлетворяет условиям теоремы Бишопа.
Доказательство. Аннулятор AL алгебры А состоит из всех регулярных комплексных борелевских мер ji на 5, для ко-
138
часть 1. общая теория
торых ^ f d\i О при всех f?A. Положим
K-{li<tA±: |||л ||<1},
где Il Ji Il — I (і I (5). Множество К выпукло, уравновешено и (согласно утверждению (с) теоремы 4.3) слабо* компактно. Если К — {0}, то A-1 — {0}, так что A=C(S) и доказывать нечего.
Допустим поэтому, что КФ\0\, и пусть (і— крайняя точка множества К. Ясно, что ||(і|| -1. Пусть E—носитель меры ц (т. е. наименьшее из компактных множеств FaS, для которых IM-I(^)-HlM-II1)- Рассмотрим такую функцию/ Є А, для которой 0 </(*)< 1 ПРИ всех ХЄ.Е> и положим
do — fd[i, o1t = (I—/)dji.
Так как А — алгебра, то о ? AL и т?Л-к Так как 0< / < і па Еу то Il о И > 0 и ||т||>0. Кроме того,
Il CII-MlTlI = ^dIiIl+J (1-/JdIJiI = IJ11 (?) = 1.
E E
Это показывает, что ji является выпуклой комбинацией мер O1-CrZlIaII и T1- т/||т||. Обе эти меры принадлежат К; но ц.— крайняя точка множества К, так что одна из этих мер, скажем а,, совпадает с ц. (поскольку 1 ^Л, случай Ji-T1 ничем не отличается от этого). Иными словами, /dji = || а \\dii, так что /(A') = || о И для всех2) х?Е. Поскольку А содержит постоянные, отсюда следует, что всякая функция f?A, вещественная на Е, постоянна на ?.
Итак, мы доказали, что если мера \х служит крайней точкой множества К, то ее носитель является множеством антисимметрии относительно А.
Отсюда следует, что если функция g удовлетворяет условиям
теоремы, то ^ gd\i = 0 для любой меры р., являющейся крайней
точкой множества К, а потому и для любой меры Ji из выпуклой оболочки множества всех крайних точек К. Так как функция J.I—+\gd\i слабо* непрерывна на К, то из теоремы Крсй-
1J Такое множество E существует. Действительно, пусть Г — семейство всех открытых множеств QcS, для которых I Ji I (Q) = О (Г непусто, ибо 0?Г), и пусть V (J Q. Если F — компактное подмножество в V, то F
Qe г
покрывается конечным числом множеств Q?F, так что IJiI(F)=O. Поэтому из регулярности меры (г следует, что |n|(V) = 0, и остается положить E = S\V.— Flрим. перев.
'-) Так как функция / непрерывна, то F = \x?E: /(*) = || а||} является компактным подмножеством в Е; из равенства / d\k = || о || d\i следует, что I Ji I (F) = \ (д I (?) = || |д ||, а так как E — носитель меры ji, то F = E.— Прим. перев.
гл. 5. некоторые приложения
139
на—Мильмана следует, что dp, = О для всех [xGK, а потому и для в:ех [X G А1-
Таким образом, каждый непрерывный линейный функционал на С (5), аннулирующий А, аннулирует также и функцию g. Поэтому из теоремы Хана — Банаха следует, что g?A. Щ
Приведем пример, иллюстрирующий теорему Бишопа.
5.8. Теорема. Пусть К—такое компактное множества s R"xC, что для любой точки t = (tlt ...ttn)GRn дополнение в С к множеству
связно. Каждой функции gGC(K) сопоставим функцию gt на /Ct, полагая gt(z) = g(tt z).
Пусть g G С (К) — такая функция, что каждая из функций gt голоморфна во всех внутренних точках множества Kf Тогда для всякого e > 0 найдется такой полином P от переменных tu ... ..., t„, 2, что
\P(t*z)—g(t. г) |< 8
для всех (t, z)GK.
Доказательство. Пусть А—замыкание в C(K) множества всех полиномов *) P (t, z). Поскольку вещественные полиномы разделяют точки в R", каждое множество антисимметрии относительно алгебры А содержится в одном из множеств Kf Поэтому в силу теоремы 5.7 достаточно показать, что для каждой точки IGR" найдется такая функция fGAt что ft^gt-
Фиксируем t G По теореме Мергеляна (см. [27], а также [9, стр. 71] или [21, т. 2, стр. 105]) существуют такие полиномы P1(Z), что
со
gt (*) = 23 Pi (г) (г G Kt)
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed