Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
(2) $1/14<2(2Ип)|Т = 2($|Л*)2. Неравенство Гёльдера с показателями 3 и 3/2 дает
о) Si/i2<(Sina)I/3(ji/i)vs.
Из неравенств (2) и (3) следует, что
H) imi«<2'/«||/||e и 11/11^2'/»11/H1
для всех / ? РЕ. Поэтому всякая последовательность Коши в РЕ относительно !^-нормы является также последовательностью Коши относительно /.Лнормы. Следовательно, S?crZA Очевидное неравенство Il f Ij1 ^ (J /1|4 показывает теперь, что SE замкнуто в L4. Щ
гл. 5. некоторые приложения
135
Применяя некоторые соображения, связанные с двойственностью, и используя второе из неравенств (4), можно получить один интересный результат. Напомним, что коэффициенты Фурье
g(n) любой функции gfzL1* удовлетворяют условию 21(п) 12<°°-Следующая теорема показывает, что ничего лучшего нельзя сказать и о тех из них, номера которых принадлежат довольно разреженному множеству Е.
5.4. Теорема. Пусть E—такое же множество, как в теореме 5.3. Если
03
2 \а(п) |2 = Л2 <оо,
— со
то существует такая функция g^L™, что g(n)=a(n) для всех п?Е.
Доказательство. Если f ? РЕ, то, согласно второму из неравенств (4),
I 2 J (п) а (я) |< А {21 f (п) |2|1/2 = А Il / Ц2 < 2-і- А || / H1.
Поэтому линейный функционал / —>2jf{n)a (п) непрерывен относительно /^-нормы на РЕ. По теореме Хана — Банаха этот функционал может быть продолжен (с сохранением нормы) до непрерывного линейного функционала на пространстве ZA Следовательно, существует такая функция g?L™ (где ||g||оо^21/2А), что
со ^
JTf(Ai) а (л) =^г J f (e~iu) g (еів) dO (f?PE).
— со —Л
Полагая здесь / (e'0) = einQ (п?Е), получаем g(n)~a(n). Q Область значений векторной меры
Мы приведем сейчас одно весьма замечательное приложение теорем Крейна — Мильмана и Банаха — Алаоглу.
Пусть SOi есть о-алгебра. Вещественная мера X на SOI называется неатомической, если всякое множество E ? SUi, для которого j XI (E) > 0, содержит такое подмножество А ? Ш, что 0 < | А | (А) < <|Я|(?). Здесь IXI — полная вариация меры X (см. [27] или [37]).
5.5. Теорема. Пусть р,, ...,jli„—конечные вещественные не-атомические меры на о-алгебре 9Ji. Определим отображение р.: Ш—>Rn, полагая
Vi(E) = (H1(E)9 ...,МЯ)) (?€ЯН).
Тогда образ этого отображения является компактным выпуклым подмножеством в
136
часть i. общая теория
Доказательство. Сопоставим каждой вещественной измеримой ограниченной функции g вектор
Аё= ($#4Ч, • •, lgd\in) € R".
Положим о = |р1| + ...-т-|р„|. Если gi=g2 почти всюду относительно о, то Ag1 = Ag2. Поэтому Л можно рассматривать как линейное отображение пространства L00 (о) в R".
Каждая из мер \i{ абсолютно непрерывна относительно 6. Поэтому из теоремы Радона — Никодима (см. [27] или [37]) следует существование таких функций H1-^L1 (о), что ац{ = к^а (I ^.i^n). Следовательно, Л является слабо* непрерывным линейным отображением пространства L00 (<х) в R" (напомним, чтоL°° (G)=L1 (о)*).. Пусть
Очевидно, что множество к выпукло. Так как g?K тогда и только тогда, когда
для всякой неотрицательной функции f^L1 (о), то множество К слабо* замкнуто. Наконец, к содержится в замкнутом единичном шаре пространства L00 (о). Поэтому теорема Банаха—Алаоглу показывает, что множество к слабо* компактно. Следовательно, его-образ Л (к) является компактным выпуклым множеством в R".. Теперь мы покажем, что [х (Ш) =А (/С).
Если %Е—характеристическая функция множества E то. %е€к и \i(E)=A(xf). Таким образом, u. (9Jc) с Л (к). Чтобы доказать обратное включение, фиксируем какую-нибудь точку р Є A(K) и положим
Нам достаточно показать, что множество кр содержит некоторую' характеристическую функцию іе> так как тогда p = \i(E).
Заметим, что множество кр выпукло; так как отображение Л. непрерывно, то кр слабо* компактно. По теореме Крейна—Миль-мана множество кр имеет крайнюю точку.
Допустим, что функция g0 ? кр не является характеристической функцией никакого множества из Ш. Тогда найдутся такое множество E € SOl и такое число г > О, что a (E) > 0 и г g0 1 —г на Е. Положим Y = %E'L" (а). Так как о (E) > 0 и мера о неатомическая, то dim К = оо. Поэтому в Y найдется такой ненулевой элемент g пространства L00 (а), что Ag = O и —r<g<r. Ясно,, что функции ga-hg и g0—g принадлежат к . Поэтому g0 не является крайней точкой множества к .
Таким образом, каждая крайняя точка множества кр является характеристической функцией. Щ
гл. 5. некоторые приложения
137
Обобщенная теорема Стоуна — Вейерштрасса
Теперь мы применим теоремы Крейна—Мильмана, Хана — Банаха и Банаха—Алаоглу к задаче аппроксимации.
5.6. Определения. Пусть C(S)—известное банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве S (как обычно, с sup-нормой). Подпространство А в C(S) является алгеброй, если fg?A для любых f и g из А. Множество EcS называется множеством антисимметрии относительно алгебры AaC(S), если каждая функция f?A, вещественная на Е, постоянна на этом множестве (иными словами, если алгебра АЕ, состоящая из сужений f \Е всевозможных функций f ? А на множество Е, не содержит непостоянных вещественных функций).
