Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Если xZX, то Psx Z У- Так как по условию подпространство Y инвариантно относительно всех операторов Ts(sZG), то отсюда следует, что S-1 PsxZY для всякого sZG. Так как Y замкнуто, то QxZY.
Если XZY, то sxZY и Psx = sx, так что 5'1PsX = X для любого sZG. Поэтому Qx = х.
Эти два замечания показывают, что Q является проектором пространства X на подпространство К. Для завершения доказательства остается убедиться в том, что
(6) Qs0 = S0Q для всякого S0ZG.
Заметим, что S-1 PsS0 = S0(SS0)'1 P (ss0). Поэтому из (1) и (2> следует, что
Qs0X = \ s'1 Pss0x dm (s) = \ sjx (ss0) dm (s) =
третье равенство выполняется в силу инвариантности меры т относительно сдвигов; по поводу четвертого равенства (вынесение оператора S0 за знак интеграла) см. упр. 24 гл. 3. Щ
5.19. Примеры. В качестве первого примера рассмотрим подпространство Y = H1 пространства X = L1. Здесь L1—пространство всех интегрируемых функций на единичной окружности, a H1 состоит из всех тех функций fZL1, для которых f(n)=0 при всех п < 0. Напомним, что f(n) обозначает п-и коэффициент
(5)
Psx ZW Для всех SgV2.
J Sjx (s) dm (s) = s0 J fx (s) dm (s) = s0Qx;
G G
154
часть 1. общая теория
л
Фурье функции /: <1) Ал) = "йГ §HQ)e-MdQ (я = 0, ±1, ±2, ...).
-л
Заметим, что для простоты мы пишем /(0) вместо f(eie).
В качестве группы G возьмем единичную окружность, т. е. мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу eis ? G оператор сдвига rs> полагая
(2) W) (в)=/(S+ 6).
Легко проверить (см. упр. 12), что так определенное действие группы G на пространстве L1 линейно и непрерывно и что
(3) (Tjy (n)=einSf(n).
Поэтому rs (H1) = H1 для любого вещественного s.
Если бы подпространство H1 было дополняемым в L1, то из теоремы 5.18 следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L1 на Я1, что
(4) TsQ = QTs для всех s.
Посмотрим, как должен был бы выглядеть такой проектор.
Положим епф) =е1пЄ. Тогда xsen e'nsen, а так как оператор Q линеен, то
(5) Qxsen~einsQen. Из (4) и (5) следует, что
(6) (Qen) (s + 0)=ef»s (Qen)(O).
Пусть cn = (Qen) (0). При 0-=0 соотношение (6) принимает вид
(7) Qen = cncn (/2 = 0, ± 1, ±2, ...).
До сих пор мы пользовались лишь условием (4); воспользуемся теперь тем, что образом оператора Q служит подпространство H1. Так как QenGH1 для всех п, то из (7) следует, что сп 0 при п < 0. Так как Qf = f для всех то сп = \ при
я^О. Таким образом, проектор Q (если он вообще существует) является «естественным», т. е. его действие сводится к замене нулем всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами, т. е.х)
(S) Ql 2^=2^"6.
v—OO
1J Равенство (8) нужно понимать в том смысле, что если функция /^L1
<» cc
имссі ряд Фурье 2 апеіп(), то функция Qf должна иметь ряд Фурье Y.«/'«0. В тексте будет доказано, что линейный оператор Q: L1 -> L1, обладающий
гл. б. некоторые приложения
15&
С целью получить противоречие рассмотрим функцию
со
(9) fr (G)=S г'п' еш (0<г<\),
— со
которая представляет собой хорошо известное ядро Пуассона
1—г2 , 1 — 2r cose + r2'
в частности, fr > 0. Поэтому
л я
(Ю) IlMl1=-4 J IMo)H=-^ J /де)<ш = і /
-л —л
для всех г. Однако
CC
(И) (Qf,)(e) = XrV"e = r=bro.
о
а так как ^|1—et0|_1d6 = oo, то из леммы Фату следует, что
Il Qfг Wi—* 00 ПРИ г—В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.
Следовательно, подпространство H1 недополняемо в L1.
Такой же подход можно применить к пространствам А и C9 где С—пространство всех комплексных непрерывных функций на единичной окружности, а А состоит из всех тех функций
f G С, для которых / (я) = 0 при п < 0. Если бы подпространство А было дополняемым в С, то существовал бы непрерывный проектор Q пространства С на Л, который должен был бы удовлетворять условию (8). Если /6 А и /Ie=O=O, то 2Re/ ? С и
таким свойством, не может быть непрерывным. В действительности можно утверждать чуть больше: не существует вообще никакого линейного оператора Q-.L1 L1, удовлетворяющего условиям Q (ein^)—einQ при л^Ои Q (ein®) = 0 при п < 0. Действительно, если бы такой линейный оператор Q существовал, то, как легко проверить, он имел бы замкнутый график и потому был бы непрерывным, что невозможно. Заметим еще, что отсюда следует существо-
сс сс
вание такой функции /^Z,1 с рядом Фурье 2°«еілЄ> что ^ апеіл0 не яв-
— сс 0
ляется рядом Фурье никакой функции из L1. Известны и конкретные при-
v л е1пв
меры таких функций; так, можно показать, что > -:-;—г является
Lu log I п I
I п I > 2
рядом Фурье некоторой функции из L1, в то время как \0gn не может
гс = 2
быть рядом Фурье функции из L1 (доказательства этих утверждений основаны на довольно тонком анализе, тогда как существование примера такого рода получается из общих соображений, «даром»). Наконец, отметим, что теорема о иедополнясмости IIі в L1 принадлежит Д. Ныоману, а ее доказательство, приведенное в тексте, предложено У. Руди ном.—Прим. перев.
156
часть 1. общая теория
<) (2Re/) =/; поэтому должна была бы существовать такая постоянная M < оо, что
