Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
166
часть 2 распределения и преобразование фурье
Следствие. Каждый дифференциальный оператор S)a порождает непрерывное отобраоюение пространства S) (Q) в себя.
Доказательство. Так как || Da <р ||л/^ || ф ||лг+|а | при N = 0, 1, 2, то Da порождает непрерывное отображение
в себя любого из подпространств S)K. Q
6.7. Определение. Линейный функционал на пространстве-S) (Q), непрерывный относительно топологии т (описанной в п. 6.3),. называется распределением, в Q.
Пространство всех распределений в Q обозначается через; S)' (Q).
Отметим, что теорема 6.6 применима к линейным функционалам на S) (Q). Это обстоятельство приводит к следующей полезной характеристике распределений.
6.8. Теорема. Если Л есть линейный функционал на S) (Q),, то следующие два условия эквивалентны:
(a) Л (E ЗУ (Q);
(b) калсдому компакту /(ей соответствуют некоторое неотрицательное целое число N и константа С < оо, такие, что для:, всех q>(tS)K выполняется неравенство
ІЛфКСІІфііл,
Доказательство. Это вытекает из эквивалентности условий (а) и (d) теоремы 6.6 в сочетании с описанием топологии на S)K при помощи полунорм || <p \\N, приведенным в п. 6.2.
Примечание. Если для функционала Л существует Л/, обслуживающее в указанном выше смысле все компакты (быть, может, с различными С), то наименьшее из таких N называется порядком распределения Л. Если же таких N не существует, то говорят, что Л есть распределение бесконечного порядка.
6.9. Замечание. Каждая точка х ^Q порождает линейный функционал бх на S) (Q) по формуле
6*(ф) = Ф(*)-
Согласно теореме 6.8, функционал ёх есть распределение порядка 0.
При х = 0 (начало координат в R") функционал Ь = б0 часта называют мерой Дирака (o-функцией Дирака) в Rn.
Для любого компакта /CcQ подпространство S)K совпадает с пересечением ядер функционалов fijp при х, пробегающем дополнение к К. Поэтому каждое из подпространств S)x замкнуто-в S)(Q). [Эго вытекает гакже из теоремы 1.27 и утверждения (Ь) теоремы 6.5, ибо каждое S)x полно.] Ясно, что пи одно из S)x не содержит точек, внутренних относительно S)(Q), С другой.
гл. 6. пробные функции и распределения
167
^стороны, существует счетное семейство таких компактов /С,- er Q, что S) (Q) = U S)^1, и поэтому пространство S) (Q) является множеством первой категории в себе. Наконец, так как последовательности Коши сходятся в S)(Q) (теорема 6.5), то, согласно теореме Бэра, пространство S)(Q) не метризуемо.
Операции над распределениями
6.10. Обозначения. Как и выше, Q будет обозначать некоторое непустое открытое множество в Rn. Если a — (at, а„) и ? = ?w)—мультииндексы (см. п. 1.46), то
(1) IaI=5Ot1+...+аи>
<2) D° = Dji ... D;„, где D, = -^
(3) ?означает, что ?/^a,« при І^і^я,
'(4) a±? = (a1±?1, .... a„=fc?„).
Если x?R" и y?Rn, то
<5) X^y = XM1 + ... +xnynt
(6) IX I = (X.х)- (Х\ + . . . +X\)V* .
То обстоятельство, что знак абсолютной величины имеет различный смысл в формулах (1) и (6), не должно приводить к недоразумениям.
Если x?Rn и а—мультииндекс, то моном ха определяется следующим образом:
(7) ха = X^i ...
6.11. Функции и меры в качестве распределений. Пусть / — локально интегрируемая комплексная функция в Q. Это означает, что функция / измерима по Лебегу и J | / (л;) | dx < со для
к
любого компакта KczQ. Здесь dx—мера Лебега, по которой берется интеграл. Положим
(1) Л, (ф) = $ <р (Ф € S) (Q)).
а
Так как
(2) ІЛ/МкЦш^.Цфііо (ф б®*),
то А/€ S)' (Q) в силу теоремы 6.8.
Принято отождествлять распределение Af с функцией / и говорить, что такие распределения «являются» функциями.
Аналогично если |li—комплексная борелевская мера на множестве Q или ja—положительная мера на Q, для которой u. (/С) < оо
168 часть 2. распределения и преобразование фурье
при любом компакте KczQ, то равенство
(3) A14 (q>) = Jq) di* (ср 6 ?>(&))
й
задает распределение Ац в Q, и это распределение обычно отождествляется с мерой р.
6.12. Дифференцирование распределений. Если а—мультиин-декс и А ? S)' (Q), то формула
(1) (?>«Л) (ср) = (— 1)'а IЛ (D» (ф € 3> (Q))
(мотивированная рассуждениями п. 6.1) определяет некоторый линейный функционал DaA на S) (Q). Если
(2) |Лф|<С||ф||„
для всех ф G @)к, то
(3) I (D-A) (ф) |< С I) D> \\N < С Il ф IU+, а,.
Согласно теореме 6.8, это означает, что DaA G S)' (Q). Отметим, что формула
(4) DaD$A = D«+PA = D?DaA
имеет место для любого распределения Л и всех мультииндек-сов ос и ? просто потому, что операторы Da и Dp коммутируют, если их рассматривать на С" (Q). Действительно,
(DaDpA) (ф) = (— 1)1а I(D?A) (D» = (—1)1 а 1+ I ? IЛ (D^D» = = ( —1)1 а+? IЛ (Da+» = (Da+?A) (ф).
6.13. Дифференцирование функций, рассматриваемых как распределения. Производной порядка а локально интегрируемой в Q функции / служит, по определению, распределение DaA/.
Если производная Daf существует в классическом смысле и является локально интегрируемой функцией, то эта функция Daf задает распределение в смысле п. 6.11. Очевидная очередная задача—выяснить, всегда ли в данных условиях выполняется равенство
(1) DaAf = ADaj.
Более детально вопрос заключается в том, выполняется или нет соотношение
