Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(2) (- 1 )l«I J / (к) (D« ф) (X) dx = \ (D« /) (X) ф (X) dx
Q ії
для всех ф ? S) (Q).
Если функция f обладает непрерывными производными всех порядков до N включительно, то интегрирование по частям без затруднений приводит к соотношению (2) при |а|^Л,г. Однако,
гл. 6. пробные функции И распределения 169
вообще говоря, равенство (1) может оказаться неверным. Мы приведем пример, иллюстрирующий это обстоятельство в случае ft = 1.
6.14. Пример. Пусть Q— отрезок вещественной оси Rh/ — непрерывная слева функция ограниченной вариации на Q. Если D=d/dx, то, как известно, (Df) (х) существует п. в. и Df? L1. Мы утверждаем, что
(1) DAf = A11,
где ц—мера на Q, определяемая соотношением
(2) [і ([a, b])=f(b)-f(a).
Таким образом, равенство DAf=An/ выполняется тогда и только тогда, когда функция f абсолютно непрерывна.
Чтобы проверить формулу (1), мы должны показать, что для любой функции ф Z S (Q)
(A14) (ф) = (DA1) (ф) = - Af (Dcp),
т. е. что
<3) \ ^d]X = — \ ф' (х) f (х) dx.
Но формула (3) есть простое следствие теоремы Фубини, так как обе части этой формулы представляют интеграл от функции <р' (х) по множеству
(4) {(X, у): xZQ, y?Q> х<у\
относительно произведения мер dx и d\-i. При вычислении используется тот факт, что функция ф обладает компактным носителем в Q.
6.15. Умножение на функцию. Пусть Л Z (Q) и fZ С°> (Q). Правая часть равенства
(D (/Л)(ф) = Л(/ф) (ф (E^)(Q))
имеет смысл, потому что /ф Z (Q), если ф Z S) (Q). Следовательно, равенство (1) определяет некоторый линейный функционал /Л на S(Q). Мы увидим, что на самом деле /Л является распределением в Q.
Подчеркнем, что с обозначениями здесь следует соблюдать осторожность: если f ZS(Q), то Af есть число, тогда как /Л — распределение.
Включение fA Z @>г (Q) доказывается при помощи формулы Лейбница
(2) D«(fg)= S C0V(DWf)(DVg)1
170
часть 2. распределения и преобразование фурье
справедливой для всех f и g из С°° (Q) и всех мультииндексов CC Формула (2) устанавливается путем итерации хорошо известной формулы
(3) (uv)'= и'v-\-uv'.
Числа Ссф являются целыми положительными, их точные значения легко вычисляются, но для нашей ближайшей цели безразличны.
Каждому компакту KaQ соответствуют такие С и А/, что |Лср I <:С|| ф ||дг для всех ц>?&)к. По формуле (2), найдется такая константа С', зависящая только от /, К и A^, что Jj /ф ||Л^С' || ф ||л. для ф Z S) к. Поэтому
(4) |(/Л) (ф) I < CC л ф \\N (<р?®к). Согласно теореме 6.8, это означает, что fA Z S' (Q).
Теперь мы хотим показать, что формула Лейбница (2) справедлива с заменой g на Л, т. е. чю
(5) Da (fA) = 2 cafi (D«-?/) (D13A).
?<a
Доказательство состоит в чисто формальных выкладках. Сопоставим каждой точке и Z R" функцию hu по формуле
ha(x) — ехр (и -х). Тогда D hu = uahu. Если в формуле (2) заменить f и g на hu и hvtl. то мы получим тождество
(6) (U+v)a = 2 Ca?U^-W (U ZR", V ZR").
? < а
В частности,
Ua = [v~\-(—V + U)Y-= 2 Ca?ua-P 2 Чч(—1)1 P-Vl u?-VmV=,
? < а V < (З
= 2 (-l)'vi^-vwv 2 (-l),plc«?c?v.
у < « V<|i<cc
Поэтому
(7) 2 (-1)'Р'е«рч*={ 1-1>,в1'если V=«'
V<-T<« I vJ B ІфОТИВНОМ Случае.
Если применить формулу (2) к ((pDa-Vf), а затем использовать (7), то получится тождество
(8) 2 (— I)lp (<P#a~?/)==(—1)1 а 1ZWp.
? < а
Формула (5) в конечном счете вытекает из (8). Действительно^, если ф Z S (Q)1 то
Da {f А) (ф) = (— I)' «1 (/А) (?«ф) = (—1 )•«>Л (/D^p) =
- Д р WV (DP (<pD«-Pf)) =
^Д/»» Ф(ІЛ) (epD«- P/) =
= ІГс«Р[(0«-Р/)(?)РЛ)](ф).
?<cc
гл. 6. пробные функции и распределения
171
6.16. Последовательности распределений. Так как ЗУ (Q) есть пространство всех непрерывных линейных функционалов на S)(Q), то к 3)'(Q) применимы общие рассмотрения п. 3.14, согласно которым 3)' (Q) наделяется некоторой топологией, а именно слабой* топологией, индуцированной исходным пространством 3)(Q). В этой топологии 3>' (Q) является локально выпуклым пространством. Если {Л,-} — последовательность распределений в Q, то утверждение
(1) A1—* Л в 3)' (Q) относится к слабой* топологии и означает, что
(2) lim Л/ф =Лф (ф Є 3> (Q)).
t -t- CC
В частности, если {/,•} — последовательность локально интегрируемых функций в Q, то утверждения «/,•—»¦A в ЗУ (Q)» или «последовательность {/,•} сходится к Л в смысле сходимости распределений» означают, что
(3) Hm J ф (х) fi (х) dx = Лф
' -»¦то и
.для каждого ф G S) (Q).
Следующая теорема относительно почленного дифференцирования последовательностей удивительна по своей простоте.
6.17. Теорема. Предположим, что А^З)' (Q) при /= 1,2, 3, ...
¦и предел (комплексное число)
(1) * Лф = Hm Л,-ф
существует для каждого ц> Є 3) (Q). Тогда A G S)'(Q) и
(2) DaAi —> DaA в S)' (Q) для каждого мулыпииндекса а.
Доказательство. Пусть К — произвольное компактное подмножество в Q. Так как соотношение (1) выполняется при любом фЄА; и так как 3>к является пространством Фреше, то, согласно теореме Банаха—Штейнгауза 2.8, сужение функционала Л на Dk. есть непрерывный функционал. По теореме 6.6 это означает, что Л—непрерывный функционал на S)(Q), т. е. ¦что A G S)'(Q). Поэтому из соотношения (1) вытекает, что
