Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
hj(x)-}nh(\x) (/=1, 2, 3, ...), где hG S) (R'2), h> Он J h {х) dx = \.
R"
6.32. Теорема. Пусть {h}—аппроксимативная единица на R", WGS) и uGS)'. Тогда
(a) lim ф-x/zy —ф в S),
/->со
(b) lim u*h] — u в S)'.
/-»-CO
Заметим, что, согласно утверждению (Ь), каждое распределение есть предел в топологии S)' некоторой последовательности бесконечно дифференцируемых функций.
184
часть 2. распределения и преобразование фурье
Доказательство. Совсем легко заметить, что f*hj—> / равномерно на компактных подмножествах, если /—непрерывная функция на R". Если в качестве функции f взять здесь D°4p, то мы увидим, что Da((p#hj)—>Da(p равномерно. Кроме того, носители всех функций ф*/гу- содержатся в некотором компакте, так как носители функций hj стягиваются к точке 0. Этим доказано утверждение (а).
Далее, утверждение (а) в сочетании с утверждением (с) теоремы 6.30 дает (Ь), ибо
и (ф) = (и *• ф) (0) = Hm (и * (hJ * ф)) (0) =
= lim ((и * hj) * ф) (0) = Hm (и * hj) (ф). Щ
6.33. Теорема, (а) Если u?S)' и
<1) L(p = u*<p (q> ^ S)),
то L есть непрерывное линейное отображение пространства S) в пространство С30, удовлетворяющее условию
(2) TxL = Ltx (X GR").
(Ь) Обратно, если L—непрерывное линейное отображение пространства S) в пространство C(R"), удовлетворяющее условию (2), то существует в точности одно такое u(tS)', что выполняется соотношение (1).
Отметим, что, согласно утверждению (Ь), образ при отображении L фактически оказывается в С03.
Доказательство, (а) Так как tx (и * ф) = и * (тхф), то соотношение (2) вытекает из соотношения (1). Для доказательства непрерывности отображения L мы должны проверить, что его сужение на каждое из подпространств S)к является непрерывным отображением в С00. Так как каждое из S)K является пространством Фpeine, то применима теорема о замкнутом графике. Пусть <Р/ —*• ф в S)к и м*ф,-—>/ в С00. Мы должны показать, что / = и-у- ф.
Фиксируем точку x?Rn. Тогда т^ф,-—^тхф в S), так что
f (х) = Hm (и * ф,-) (х) = lim и (таф,) — и (тхф) = (и * <р) (х).
(Ь) Положим и (ф) = (Ly) (0). Так как ф—>ф есть непрерывный оператор в S) и так как «значение в точке 0» есть непрерывный линейный функционал на С, то функционал и непрерывен на S). Таким образом, и Є S)'. Поскольку отображение L удовлетворяет условию (2), имеем
(Ly) (X) = (x_xLy) (0) = (Lt_x<p) (0) =
= и ((т_жф)v) = и (тж<р) = (и * ф) (X).
гл. 6. пробные функции и распределения
185
Наконец, единственность функционала и очевидна, ибо если и Z S)' и и*ф = 0 при каждом <$ZS, то
и(ф) = (и#ф) (O) = O при каждом ф Z S, т. е. и = 0. H
6.34. Определение. Пусть и ?<%)', причем и имеет компактный носитель. По теореме 6.24 функционал и однозначно продолжается до непрерывного линейного функционала на пространстве С00. Эта позволяет определить свертку функционала и с произвольной функцией ф Z С00 ш той же самой формуле, что и раньше, а именно
(и * ф) (х) = и (тх<р) (х Z R").
6.35. Теорема. Предположим, что распределение и имеет компактный носитель, и пусть ф^С*. Тогда
(a) тя(и*ф)==(таи)*ф==и*(тяф), если л; ^R",
(b) и*ф€С°° w
Da (w * ф) = (Daw) * ф = и* (D°4p).
?с./ш, кроме того, ^ZS, то
(c) и * яр € и
(d) и * (ф * яр) = (и «¦ ф) * яр = (и * яр) * ф.
Доказательство. Доказательства утверждений (а) и (Ь) настолько похожи на доказательства аналогичных утверждений теоремы 6.30, что мы не будем их повторять. Для доказательства утверждения (с) обозначим через К и H соответственно носители и и яр. Носителем функции т^яр служит X—Н. Следовательно,
(U «¦ ty){x) = U (Txoj)) = 0,
если К не пересекается с х—Н, т. е. если не выполняется включение XZK + H'. Таким образом, носитель функции и* яр содержится в компактном множестве К-{-П.
Для доказательства утверждения (d) возьмем ограниченное открытое множество W, содержащее К, и выберем такую функцию Ф06 ^), что Фо = ф в W + H. Тогда (ф*яр)~ = (фо*^)" в Wh так что
(1) (и * (ф * г|>)) (0) = (и »(ф0 * яр)) (0).
Если —s^ Н, то Туф = Туф0 в W. Следовательно, «*ф = гг*ф0. в —И. Это дает
(2) ((и * ф) * яр) (0) = ((и * ф0) * яр) (0).
Так как носитель функции «#яр содержится в /( + //, то
(3) ((и * яр)» ф) (0) = ((и * яр) * ф0) (0).
186
часть 2. распределения и преобразование фурье
По теореме 6.30 правые части равенств (1)—(3) совпадают. Поэтому совпадают и левые части. Тем самым доказано совпадение всех трех сверток из (d) в начале координат. Общий случай выводится из этого при помощи сдвига, как это проделано в конце доказательства теоремы 6.30. Щ
6.36. Определение. Если и G S)', V^S)' и если по крайней мере одно из этих распределений имеет компактный носитель, то мы полагаем
(1) L(p = «*(u*(p)
Заметим, что данное определение корректно. Действительно, если распределение v имеет компактный носитель, то vxq>?S) и Lip € О; если компактный носитель имеет распределение и, то снова Lcp^C20, так как vxqGC™. Кроме того, TxL = Lrx для всех X G R". Все эти утверждения вытекают из теорем 6.30 и 6.35.
Функционал ср—>(Lcp)(0) на самом деле является распределением. Действительно, предположим, что Cp1-—>0 в S). Согласно утверждению (а) теоремы 6.33, имеем vxq>t—>O в С™. Если к тому же о имеет компактный носитель, то VXy1—>0 в S), а если компактный носитель имеет распределение и, то можно воспользоваться теоремой 6.24. Итак, в любом случае (Lcp,) (0)—»0.
